Номер 7.99, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.99 Решите уравнение:

а) $(x+1)^2 - 4 = 0;$

б) $(x+2)^2 - 9 = 0;$

в) $1 - (x-3)^2 = 0;$

г) $25 - (10-x)^2 = 0.$

а) Исходное уравнение: $(x + 1)^2 - 4 = 0$.
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $4$ как $2^2$, чтобы привести уравнение к виду разности квадратов:
$(x + 1)^2 - 2^2 = 0$
Применим формулу, где $a = x + 1$ и $b = 2$:
$((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
Ответ: $-3; 1$.

б) Исходное уравнение: $(x + 2)^2 - 9 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $9$ как $3^2$:
$(x + 2)^2 - 3^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 2$ и $b = 3$:
$((x + 2) - 3)((x + 2) + 3) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$
Ответ: $-5; 1$.

в) Исходное уравнение: $1 - (x - 3)^2 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $1$ как $1^2$:
$1^2 - (x - 3)^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = x - 3$:
$(1 - (x - 3))(1 + (x - 3)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(1 - x + 3)(1 + x - 3) = 0$
$(4 - x)(x - 2) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $4 - x = 0 \implies x_1 = 4$
2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Ответ: $2; 4$.

г) Исходное уравнение: $25 - (10 - x)^2 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $25$ как $5^2$:
$5^2 - (10 - x)^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 10 - x$:
$(5 - (10 - x))(5 + (10 - x)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(5 - 10 + x)(5 + 10 - x) = 0$
$(x - 5)(15 - x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
2) $15 - x = 0 \implies x_2 = 15$
Ответ: $5; 15$.