Страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулу разности квадратов и прочитайте её (фрагмент 1). Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению $4x^2 + y^2$; $a^2 - 25b^2$; $100a - c^2$?

Формула разности квадратов имеет вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Читается она следующим образом: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Проанализируем возможность применения этой формулы к предложенным выражениям.

$4x^2 + y^2$

Данное выражение является суммой квадратов, а не их разностью. Первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, так как $(2x)^2=4x^2$. Второй член $y^2$ является квадратом выражения $y$. Таким образом, мы имеем $(2x)^2 + y^2$. Формула разности квадратов здесь неприменима, потому что между квадратами стоит знак «плюс».
Ответ: нет.

$a^2 - 25b^2$

Это выражение является разностью. Первый член, $a^2$, является квадратом выражения $a$. Второй член, $25b^2$, является квадратом выражения $5b$, так как $(5b)^2 = 25b^2$. Следовательно, выражение можно представить в виде разности квадратов: $a^2 - (5b)^2$. К нему можно применить формулу.
Применение формулы: $a^2 - 25b^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
Ответ: да.

$100a - c^2$

Хотя это выражение и является разностью, и второй член $c^2$ является квадратом выражения $c$, первый член $100a$ не является полным квадратом. Число $100$ — это квадрат $10$, но переменная $a$ стоит в первой степени. Чтобы выражение было полным квадратом, оно должно было бы быть, например, $100a^2$, что равно $(10a)^2$. Поскольку $100a$ не является квадратом какого-либо выражения, формула разности квадратов к данному выражению неприменима.
Ответ: нет.

Объясните, как разложить на множители выражение $16 - 9c^2$.

Для разложения на множители выражения $16 - 9c^2$ используется одна из формул сокращенного умножения — формула разности квадратов.

Формула разности квадратов имеет вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Чтобы применить эту формулу к нашему выражению, необходимо представить каждый его член в виде квадрата какого-либо числа или выражения.

1. Представим первый член, число 16, в виде квадрата:
$16 = 4 \cdot 4 = 4^2$

2. Представим второй член, $9c^2$, в виде квадрата:
$9c^2 = 3 \cdot 3 \cdot c \cdot c = (3c)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать следующим образом: $16 - 9c^2 = 4^2 - (3c)^2$

Мы получили разность квадратов, где $a = 4$, а $b = 3c$. Теперь подставим эти значения в формулу $(a - b)(a + b)$: $4^2 - (3c)^2 = (4 - 3c)(4 + 3c)$

Следовательно, выражение $16 - 9c^2$ раскладывается на множители $(4 - 3c)$ и $(4 + 3c)$.

Ответ: $16 - 9c^2 = (4 - 3c)(4 + 3c)$.

Воспользовавшись примером 2 как образцом, докажите, что разность $59^2 - 41^2$ делится на 200.

Для того чтобы доказать, что разность $59^2 - 41^2$ делится на 200, мы применим формулу сокращенного умножения, а именно формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае, $a = 59$ и $b = 41$. Подставим эти значения в формулу:

$59^2 - 41^2 = (59 - 41)(59 + 41)$

Теперь вычислим значения в каждой из скобок:

$59 - 41 = 18$

$59 + 41 = 100$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(59 - 41)(59 + 41) = 18 \cdot 100 = 1800$

Теперь нам нужно проверить, делится ли число 1800 на 200. Для этого выполним деление:

$1800 \div 200 = 9$

Так как в результате деления получилось целое число 9, это означает, что 1800 делится на 200 без остатка. Следовательно, и исходное выражение $59^2 - 41^2$ делится на 200.

Ответ: Что и требовалось доказать.

■ Запишите формулу разности квадратов справа налево и прочитайте её (фрагмент 2). Примените записанную вами формулу сокращённого умножения для преобразования произведения $(2m - 3n)(2m + 3n)$; $(5a + 1)(5a - 1)$.

Формула разности квадратов, записанная справа налево (то есть для преобразования произведения в многочлен), выглядит следующим образом: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Читается эта формула так: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Применим эту формулу для преобразования заданных произведений.

(2m - 3n)(2m + 3n)

В данном выражении мы имеем произведение разности и суммы двух выражений: $2m$ и $3n$. Воспользуемся формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2m$, а $b = 3n$.

Подставим наши значения в формулу:

$(2m - 3n)(2m + 3n) = (2m)^2 - (3n)^2 = 2^2 \cdot m^2 - 3^2 \cdot n^2 = 4m^2 - 9n^2$.

Ответ: $4m^2 - 9n^2$

(5a + 1)(5a - 1)

Это выражение также является произведением суммы и разности двух выражений: $5a$ и $1$. Применим ту же формулу, где $a = 5a$ и $b = 1$.

Подставим значения в формулу:

$(5a + 1)(5a - 1) = (5a)^2 - 1^2 = 5^2 \cdot a^2 - 1 = 25a^2 - 1$.

Ответ: $25a^2 - 1$