Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители (7.19–7.21).

7.19 а) $(x + 1) + x(x + 1)$;

б) $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$;

в) $y(a - y) - y^2(a - y)$;

г) $a(a - 1) - (a - 1)$.

а) В выражении $(x + 1) + x(x + 1)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(x + 1)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого, $(x + 1)$, останется $1$, а от второго, $x(x + 1)$, останется $x$. Таким образом, получаем:
$(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(1 + x) = (x + 1)^2$.
Ответ: $(x + 1)^2$.

б) В выражении $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$ оба слагаемых имеют общие множители $m$ и $(n + 1)$. Наибольший общий множитель, который можно вынести за скобки, это $m(n + 1)$. После вынесения от первого слагаемого, $m^2(n + 1)$, останется $m$, а от второго, $2m(n + 1)$, останется $2$. Таким образом, получаем:
$m^2(n + 1) + 2m(n + 1) = m(n + 1)(m + 2)$.
Ответ: $m(n + 1)(m + 2)$.

в) В выражении $y(a - y) - y^2(a - y)$ оба члена имеют общие множители $y$ и $(a - y)$. Вынесем общий множитель $y(a - y)$ за скобки. От первого члена, $y(a - y)$, останется $1$, а от второго, $-y^2(a - y)$, останется $-y$. Таким образом, получаем:
$y(a - y) - y^2(a - y) = y(a - y)(1 - y)$.
Ответ: $y(a - y)(1 - y)$.

г) В выражении $a(a - 1) - (a - 1)$ общий множитель - это двучлен $(a - 1)$. Второй член выражения, $-(a-1)$, можно представить как $-1 \cdot (a - 1)$. Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки. От первого члена, $a(a - 1)$, останется $a$, а от второго, $-1 \cdot (a - 1)$, останется $-1$. Таким образом, получаем:
$a(a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(a - 1) = (a - 1)^2$.
Ответ: $(a - 1)^2$.

7.20 а) $x(y - z) + 3(z - y);$

б) $a(b - c) - b(c - b);$

в) $m(n - 1) + k(1 - n);$

г) $x(x - 4) - 5(4 - x);$

д) $b(b - 1) + (1 - b);$

е) $2(p - 2) + p(2 - p).$

Образец. Разложим выражение $a(x - y) - b(y - x)$ на множители. Так как $y - x = -(x - y)$, то $a(x - y) - b(y - x) = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b).$

а) Для разложения на множители выражения $x(y - z) + 3(z - y)$ воспользуемся методом вынесения общего множителя. Заметим, что выражения в скобках $(y-z)$ и $(z-y)$ отличаются только знаком. Можно записать $z - y = -(y - z)$.
Подставим это в исходное выражение:
$x(y - z) + 3(-(y - z)) = x(y - z) - 3(y - z)$
Теперь общий множитель $(y - z)$ можно вынести за скобки:
$(y - z)(x - 3)$
Ответ: $(y - z)(x - 3)$.

б) В выражении $a(b - c) - b(c - b)$ множители в скобках $(b-c)$ и $(c-b)$ противоположны. Используем тождество $c - b = -(b - c)$.
Преобразуем выражение:
$a(b - c) - b(-(b - c)) = a(b - c) + b(b - c)$
Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:
$(b - c)(a + b)$
Ответ: $(b - c)(a + b)$.

в) В выражении $m(n - 1) + k(1 - n)$ множители в скобках $(n - 1)$ и $(1 - n)$ отличаются знаком. Запишем $1 - n = -(n - 1)$.
Подставим в исходное выражение:
$m(n - 1) + k(-(n - 1)) = m(n - 1) - k(n - 1)$
Вынесем общий множитель $(n - 1)$ за скобки:
$(n - 1)(m - k)$
Ответ: $(n - 1)(m - k)$.

г) В выражении $x(x - 4) - 5(4 - x)$ множители в скобках $(x-4)$ и $(4-x)$ являются противоположными. Используем равенство $4 - x = -(x - 4)$.
Преобразуем выражение:
$x(x - 4) - 5(-(x - 4)) = x(x - 4) + 5(x - 4)$
Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:
$(x - 4)(x + 5)$
Ответ: $(x - 4)(x + 5)$.

д) В выражении $b(b - 1) + (1 - b)$ также есть противоположные множители $(b-1)$ и $(1-b)$. Запишем $1 - b = -(b - 1)$.
Подставим в выражение:
$b(b - 1) - (b - 1) = b(b - 1) - 1 \cdot (b - 1)$
Вынесем общий множитель $(b - 1)$ за скобки:
$(b - 1)(b - 1) = (b - 1)^2$
Ответ: $(b - 1)^2$.

е) В выражении $2(p - 2) + p(2 - p)$ множители в скобках $(p-2)$ и $(2-p)$ отличаются знаком. Используем тождество $2 - p = -(p - 2)$.
Подставим в исходное выражение:
$2(p - 2) + p(-(p - 2)) = 2(p - 2) - p(p - 2)$
Вынесем общий множитель $(p - 2)$ за скобки:
$(p - 2)(2 - p)$
Ответ: $(p - 2)(2 - p)$.

7.21 а) $2(x - y) + (x - y)^2;$

б) $(a + b)^2 - (a + b)(a - b);$

в) $x(x - y)^2 - y(y - x)^2;$

г) $(x - y) + x(y - x);$

д) $n(m - n)^2 - (n - m)^3;$

е) $a(a - c)^2 - c(a - c)(c - a).$

а) В выражении $2(x - y) + (x - y)^2$ оба слагаемых содержат общий множитель $(x - y)$. Вынесем его за скобки.
$2(x - y) + (x - y)^2 = (x - y) \cdot 2 + (x - y) \cdot (x - y) = (x - y)(2 + (x - y)) = (x - y)(x - y + 2)$.
Ответ: $(x - y)(x - y + 2)$.

б) В выражении $(a + b)^2 - (a + b)(a - b)$ общий множитель равен $(a + b)$. Вынесем его за скобки.
$(a + b)^2 - (a + b)(a - b) = (a + b)((a + b) - (a - b))$.
Раскроем скобки внутри второй скобки:
$(a + b)(a + b - a + b) = (a + b)(2b) = 2b(a + b)$.
Ответ: $2b(a + b)$.

в) В выражении $x(x - y)^2 - y(y - x)^2$ заметим, что $(y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2$.
Заменим $(y - x)^2$ на $(x - y)^2$ в исходном выражении:
$x(x - y)^2 - y(x - y)^2$.
Теперь вынесем общий множитель $(x - y)^2$ за скобки:
$(x - y)^2(x - y) = (x - y)^3$.
Ответ: $(x - y)^3$.

г) В выражении $(x - y) + x(y - x)$ заметим, что $(y - x) = -(x - y)$.
Заменим $(y - x)$ на $-(x - y)$ в исходном выражении:
$(x - y) + x(-(x - y)) = (x - y) - x(x - y)$.
Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)(1 - x)$.
Ответ: $(x - y)(1 - x)$.

д) В выражении $n(m - n)^2 - (n - m)^3$ заметим, что $(n - m)^3 = (-(m - n))^3 = (-1)^3(m - n)^3 = -(m - n)^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$n(m - n)^2 - (-(m - n)^3) = n(m - n)^2 + (m - n)^3$.
Вынесем общий множитель $(m - n)^2$ за скобки:
$(m - n)^2(n + (m - n)) = (m - n)^2(n + m - n) = (m - n)^2 \cdot m = m(m - n)^2$.
Ответ: $m(m - n)^2$.

е) В выражении $a(a - c)^2 - c(a - c)(c - a)$ заметим, что $(c - a) = -(a - c)$.
Подставим это в исходное выражение:
$a(a - c)^2 - c(a - c)(-(a - c)) = a(a - c)^2 + c(a - c)(a - c) = a(a - c)^2 + c(a - c)^2$.
Вынесем общий множитель $(a - c)^2$ за скобки:
$(a - c)^2(a + c)$.
Ответ: $(a + c)(a - c)^2$.

7.22 Преобразуйте в многочлен, применяя вынесение общего множителя за скобки:

a) $(b - 1)(b + 2) - (b - 2)(b + 2) + (b - 3)(b + 2) - (b - 4)(b + 2);$

б) $(x + y)(x + 1) - (x + y)(1 - y) - (x + y)(x - y).$

а) Исходное выражение: $ (b - 1)(b + 2) - (b - 2)(b + 2) + (b - 3)(b + 2) - (b - 4)(b + 2) $.
В каждом слагаемом есть общий множитель $ (b + 2) $. Вынесем его за скобки:
$ (b + 2) \cdot ((b - 1) - (b - 2) + (b - 3) - (b - 4)) $.
Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрывая внутренние скобки:
$ (b - 1) - (b - 2) + (b - 3) - (b - 4) = b - 1 - b + 2 + b - 3 - b + 4 $.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (b - b + b - b) + (-1 + 2 - 3 + 4) = 0 \cdot b + 2 = 2 $.
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$ (b + 2) \cdot 2 $.
Чтобы получить многочлен, раскроем скобки:
$ 2 \cdot (b + 2) = 2b + 8 $.
Ой, ошибка в вычислении. Пересчитаем: $2 \cdot (b + 2) = 2b + 4$.
Таким образом, $ (b + 2) \cdot 2 = 2b + 4 $.
Ответ: $2b + 4$.

б) Исходное выражение: $ (x + y)(x + 1) - (x + y)(1 - y) - (x + y)(x - y) $.
Общий множитель для всех слагаемых — это $ (x + y) $. Вынесем его за скобки:
$ (x + y) \cdot ((x + 1) - (1 - y) - (x - y)) $.
Упростим выражение во вторых скобках, раскрывая внутренние скобки:
$ (x + 1) - (1 - y) - (x - y) = x + 1 - 1 + y - x + y $.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (x - x) + (y + y) + (1 - 1) = 0 \cdot x + 2y + 0 = 2y $.
Подставим упрощенное выражение обратно:
$ (x + y) \cdot 2y $.
Преобразуем в многочлен, умножив $2y$ на каждое слагаемое в скобках:
$ 2y \cdot (x + y) = 2y \cdot x + 2y \cdot y = 2xy + 2y^2 $.
Ответ: $2xy + 2y^2$.

7.23 Известно, что $m - n = \frac{3}{4}$. Чему равно значение выражения:

а) $\frac{n}{mn-n^2}$;

б) $\frac{m}{mn-m^2}$;

в) $\frac{n^2-2mn+m^2}{3m-3n}$?

а)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{n}{mn - n^2}$, сначала упростим его. В знаменателе можно вынести общий множитель $n$ за скобки:

$mn - n^2 = n(m - n)$

Теперь выражение примет вид:

$\frac{n}{n(m - n)}$

Сократим дробь на $n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{1}{m - n}$

Из условия задачи известно, что $m - n = \frac{3}{4}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{m}{mn - m^2}$. Упростим его, вынеся в знаменателе общий множитель $m$ за скобки:

$mn - m^2 = m(n - m)$

Выражение примет вид:

$\frac{m}{m(n - m)}$

Сократим дробь на $m$ (при условии, что $m \neq 0$):

$\frac{1}{n - m}$

По условию $m - n = \frac{3}{4}$. Выражение $n - m$ является противоположным к $m - n$, следовательно:

$n - m = -(m - n) = -\frac{3}{4}$

Подставим это значение в упрощенную дробь:

$\frac{1}{-\frac{3}{4}} = 1 \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{n^2 - 2mn + m^2}{3m - 3n}$. Упростим числитель и знаменатель.

Числитель $n^2 - 2mn + m^2$ представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Таким образом:

$n^2 - 2mn + m^2 = (n - m)^2$. Поскольку $(n - m)^2 = (m - n)^2$, для удобства будем использовать $(m - n)^2$.

В знаменателе $3m - 3n$ вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m - 3n = 3(m - n)$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:

$\frac{(m - n)^2}{3(m - n)}$

Сократим дробь на $(m - n)$, так как из условия известно, что $m - n = \frac{3}{4} \neq 0$:

$\frac{m - n}{3}$

Подставим известное значение $m - n = \frac{3}{4}$:

$\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

7.24 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена

$4,5x^3 - 7x^2 + 2x - 2,5,$

этот многочлен удобно представить в таком виде:

$4,5x^3 - 7x^2 + 2x - 2,5 = (4,5x^2 - 7x + 2)x - 2,5 = ((4,5x - 7)x + 2)x - 2,5.$

Выполните вычисления для $x = 1,2$.

Используя рассмотренный способ, найдите значение выражения:

а) $6,5x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ при $x = 0,8$;

б) $0,5x^4 - 3x^3 + 5,2x - 2$ при $x = 5$.

Сначала выполним вычисление для многочлена из примера $4.5x^3 - 7x^2 + 2x - 2.5$ при $x = 1.2$, используя предложенный способ (схему Горнера).

Запишем многочлен в виде $ ((4.5x - 7)x + 2)x - 2.5 $.

Вычислим значение по шагам:

1. $ 4.5 \cdot 1.2 - 7 = 5.4 - 7 = -1.6 $
2. $ (-1.6) \cdot 1.2 + 2 = -1.92 + 2 = 0.08 $
3. $ 0.08 \cdot 1.2 - 2.5 = 0.096 - 2.5 = -2.404 $

Ответ: -2.404

Теперь найдем значения выражений, используя этот же способ.

Найдем значение выражения $6.5x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ при $x = 0.8$.

Представим многочлен в виде, удобном для последовательных вычислений:

$((6.5x - 5)x + 4)x - 7$

Подставим $x = 0.8$ и выполним вычисления по шагам:

1. $6.5 \cdot 0.8 - 5 = 5.2 - 5 = 0.2$
2. $0.2 \cdot 0.8 + 4 = 0.16 + 4 = 4.16$
3. $4.16 \cdot 0.8 - 7 = 3.328 - 7 = -3.672$

Ответ: -3.672

Найдем значение выражения $0.5x^4 - 3x^3 + 5.2x - 2$ при $x = 5$.

В данном многочлене отсутствует член с $x^2$, что означает, что его коэффициент равен нулю. Запишем многочлен, добавив этот член для ясности: $0.5x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5.2x - 2$.

Представим его в виде для последовательных вычислений:

$(((0.5x - 3)x + 0)x + 5.2)x - 2$

Подставим $x = 5$ и выполним вычисления по шагам:

1. $0.5 \cdot 5 - 3 = 2.5 - 3 = -0.5$
2. $-0.5 \cdot 5 + 0 = -2.5$
3. $-2.5 \cdot 5 + 5.2 = -12.5 + 5.2 = -7.3$
4. $-7.3 \cdot 5 - 2 = -36.5 - 2 = -38.5$

Ответ: -38.5

7.25 ДОКАЗЫВАЕМ Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:

a) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

Пример:
Возьмём натуральное число $n = 5$.
Квадрат этого числа: $n^2 = 5^2 = 25$.
Разность между квадратом числа и самим числом: $n^2 - n = 25 - 5 = 20$.
Число 20 является чётным, что иллюстрирует данное утверждение.

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число. Требуется доказать, что выражение $n^2 - n$ является чётным.
Разложим это выражение на множители: $n^2 - n = n(n-1)$.
Выражение представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $n-1$ и $n$.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным.
Рассмотрим два возможных случая:
1. Число $n$ — чётное. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. В этом случае произведение $n(n-1) = 2k(n-1)$ содержит множитель 2, следовательно, оно является чётным.
2. Число $n$ — нечётное. Тогда число $(n-1)$ будет чётным. Его можно представить в виде $n-1 = 2m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Тогда произведение $n(n-1) = n(2m) = 2nm$ также содержит множитель 2 и является чётным.
Поскольку любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным, мы доказали, что в любом случае разность $n^2 - n$ является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

Пример:
Возьмём две последовательные натуральные степени числа 2, например, 3-ю и 4-ю ($n=3$, $n+1=4$).
Сумма этих степеней равна: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$.
Число 24 делится на 6 без остатка ($24 \div 6 = 4$), что иллюстрирует утверждение.

Доказательство:
Пусть $n$ — натуральное число (показатель степени, $n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 2: $S = 2^n + 2^{n+1}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^n$:
$S = 2^n(1 + 2^1) = 2^n \cdot 3$.
Чтобы доказать, что число $S$ делится на 6, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3.
1. Выражение $3 \cdot 2^n$ содержит множитель 3, следовательно, оно делится на 3.
2. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $2^n$ всегда будет чётным числом ($2^1=2, 2^2=4, \dots$). Следовательно, выражение $3 \cdot 2^n$ делится на 2.
Поскольку число $S$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их наименьшее общее кратное, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Пример:
Возьмём натуральное число $a = 3$. Следующее за ним число — $a+1 = 4$.
Возьмём две последовательные натуральные степени числа 3, например, 2-ю и 3-ю ($n=2, n+1=3$).
Сумма этих степеней: $3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$.
Число 36 делится на 4 без остатка ($36 \div 4 = 9$), что иллюстрирует утверждение.

Доказательство:
Пусть $a$ — любое натуральное число. Следующее за ним число равно $(a+1)$.
Пусть $n$ — любое натуральное число (показатель степени, $n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа $a$: $S = a^n + a^{n+1}$.
Вынесем за скобки общий множитель $a^n$:
$S = a^n(1 + a^1) = a^n(a+1)$.
Полученное выражение $a^n(a+1)$ является произведением, одним из множителей которого является $(a+1)$.
Следовательно, это выражение всегда делится на $(a+1)$ нацело для любых натуральных $a$ и $n$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.