Номер 7.25, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.25, страница 194.

Условие.

7.25 ДОКАЗЫВАЕМ Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:

a) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

Пример:
Возьмём натуральное число $n = 5$.
Квадрат этого числа: $n^2 = 5^2 = 25$.
Разность между квадратом числа и самим числом: $n^2 - n = 25 - 5 = 20$.
Число 20 является чётным, что иллюстрирует данное утверждение.

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число. Требуется доказать, что выражение $n^2 - n$ является чётным.
Разложим это выражение на множители: $n^2 - n = n(n-1)$.
Выражение представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $n-1$ и $n$.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным.
Рассмотрим два возможных случая:
1. Число $n$ — чётное. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. В этом случае произведение $n(n-1) = 2k(n-1)$ содержит множитель 2, следовательно, оно является чётным.
2. Число $n$ — нечётное. Тогда число $(n-1)$ будет чётным. Его можно представить в виде $n-1 = 2m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Тогда произведение $n(n-1) = n(2m) = 2nm$ также содержит множитель 2 и является чётным.
Поскольку любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным, мы доказали, что в любом случае разность $n^2 - n$ является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

Пример:
Возьмём две последовательные натуральные степени числа 2, например, 3-ю и 4-ю ($n=3$, $n+1=4$).
Сумма этих степеней равна: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$.
Число 24 делится на 6 без остатка ($24 \div 6 = 4$), что иллюстрирует утверждение.

Доказательство:
Пусть $n$ — натуральное число (показатель степени, $n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 2: $S = 2^n + 2^{n+1}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^n$:
$S = 2^n(1 + 2^1) = 2^n \cdot 3$.
Чтобы доказать, что число $S$ делится на 6, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3.
1. Выражение $3 \cdot 2^n$ содержит множитель 3, следовательно, оно делится на 3.
2. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $2^n$ всегда будет чётным числом ($2^1=2, 2^2=4, \dots$). Следовательно, выражение $3 \cdot 2^n$ делится на 2.
Поскольку число $S$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их наименьшее общее кратное, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Пример:
Возьмём натуральное число $a = 3$. Следующее за ним число — $a+1 = 4$.
Возьмём две последовательные натуральные степени числа 3, например, 2-ю и 3-ю ($n=2, n+1=3$).
Сумма этих степеней: $3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$.
Число 36 делится на 4 без остатка ($36 \div 4 = 9$), что иллюстрирует утверждение.

Доказательство:
Пусть $a$ — любое натуральное число. Следующее за ним число равно $(a+1)$.
Пусть $n$ — любое натуральное число (показатель степени, $n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа $a$: $S = a^n + a^{n+1}$.
Вынесем за скобки общий множитель $a^n$:
$S = a^n(1 + a^1) = a^n(a+1)$.
Полученное выражение $a^n(a+1)$ является произведением, одним из множителей которого является $(a+1)$.
Следовательно, это выражение всегда делится на $(a+1)$ нацело для любых натуральных $a$ и $n$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.