Номер 7.18, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.18 Докажите, что значение выражения:

a) $6^5 + 6^4$ делится на 7;

б) $9^4 - 9^3$ делится на 8;

в) $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13;

г) $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^5 + 6^4$ делится на 7, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $6^4$.

$6^5 + 6^4 = 6^4 \cdot 6^1 + 6^4 \cdot 1 = 6^4(6 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $6 + 1 = 7$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $6^4 \cdot 7$. Поскольку один из множителей равен 7, то и все произведение кратно 7, то есть делится на 7 без остатка.

Ответ: значение выражения $6^5 + 6^4$ делится на 7, так как его можно представить в виде произведения $6^4 \cdot 7$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $9^4 - 9^3$ делится на 8, вынесем за скобки общий множитель $9^3$.

$9^4 - 9^3 = 9^3 \cdot 9^1 - 9^3 \cdot 1 = 9^3(9 - 1)$.

Вычислим значение в скобках: $9 - 1 = 8$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $9^3 \cdot 8$. Поскольку один из множителей равен 8, то и все произведение кратно 8.

Ответ: значение выражения $9^4 - 9^3$ делится на 8, так как его можно представить в виде произведения $9^3 \cdot 8$.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^4$.

$3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4(1 + 3^1 + 3^2)$.

Вычислим значение выражения в скобках: $1 + 3 + 9 = 13$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $3^4 \cdot 13$. Поскольку один из множителей равен 13, то и все произведение кратно 13.

Ответ: значение выражения $3^4 + 3^5 + 3^6$ делится на 13, так как его можно представить в виде произведения $3^4 \cdot 13$.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^5$.

$2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 = 2^5(1 + 2^1 + 2^2 + 2^3)$.

Вычислим значение выражения в скобках: $1 + 2 + 4 + 8 = 15$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $2^5 \cdot 15$. Число 15 делится на 5 ($15 = 3 \cdot 5$), поэтому все выражение можно записать как $2^5 \cdot 3 \cdot 5$. Поскольку в произведении есть множитель 5, то и все выражение кратно 5.

Ответ: значение выражения $2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8$ делится на 5, так как его можно представить в виде произведения $2^5 \cdot 15$, а множитель 15 делится на 5.