Номер 7.11, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.1. Вынесение общего множителя за скобки. Упражнения - номер 7.11, страница 193.

Условие.

7.11 a) $10xy^2 - 35x^3y^3;$

Б) $9a^6b^3 + 12a^3b^4;$

В) $24m^2n^5 - 16m^2n^3;$

Г) $7b^3c^3 + 14b^4c^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $10xy^2 - 35x^3y^3$, необходимо найти общий множитель для каждого члена выражения и вынести его за скобки. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 10 и 35.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
НОД(10, 35) = 5.

2. Найдем общий множитель для переменных. Для этого для каждой переменной, входящей во все члены многочлена, берем ее в наименьшей степени, в которой она встречается.
Для переменной $x$ имеем степени $x^1$ и $x^3$. Наименьшая степень – 1, поэтому общий множитель для $x$ это $x^1$ или просто $x$.
Для переменной $y$ имеем степени $y^2$ и $y^3$. Наименьшая степень – 2, поэтому общий множитель для $y$ это $y^2$.

3. Общий множитель для всего выражения равен произведению НОД коэффициентов и общих множителей переменных: $5 \cdot x \cdot y^2 = 5xy^2$.

4. Вынесем общий множитель $5xy^2$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения разделим на этот множитель:
Первый член: $10xy^2 : (5xy^2) = \frac{10}{5} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y^2}{y^2} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$.
Второй член: $-35x^3y^3 : (5xy^2) = -\frac{35}{5} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} = -7x^{3-1}y^{3-2} = -7x^2y$.

Записываем общий множитель и в скобках результат деления: $10xy^2 - 35x^3y^3 = 5xy^2(2 - 7x^2y)$.
Ответ: $5xy^2(2 - 7x^2y)$

б)

Разложим на множители выражение $9a^6b^3 + 12a^3b^4$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 9 и 12.
НОД(9, 12) = 3.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $a$ имеем $a^6$ и $a^3$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $a^3$.
Для переменной $b$ имеем $b^3$ и $b^4$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $b^3$.

3. Общий множитель всего выражения: $3a^3b^3$.

4. Вынесем $3a^3b^3$ за скобки, разделив каждый член на него:
$9a^6b^3 : (3a^3b^3) = 3a^{6-3}b^{3-3} = 3a^3b^0 = 3a^3$.
$12a^3b^4 : (3a^3b^3) = 4a^{3-3}b^{4-3} = 4a^0b^1 = 4b$.

Записываем результат: $9a^6b^3 + 12a^3b^4 = 3a^3b^3(3a^3 + 4b)$.
Ответ: $3a^3b^3(3a^3 + 4b)$

в)

Разложим на множители выражение $24m^2n^5 - 16m^2n^3$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 24 и 16.
НОД(24, 16) = 8.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $m$ имеем $m^2$ в обоих членах, поэтому выносим $m^2$.
Для переменной $n$ имеем $n^5$ и $n^3$. Выносим множитель с наименьшей степенью: $n^3$.

3. Общий множитель всего выражения: $8m^2n^3$.

4. Вынесем $8m^2n^3$ за скобки:
$24m^2n^5 : (8m^2n^3) = 3m^{2-2}n^{5-3} = 3m^0n^2 = 3n^2$.
$-16m^2n^3 : (8m^2n^3) = -2m^{2-2}n^{3-3} = -2m^0n^0 = -2$.

Записываем результат: $24m^2n^5 - 16m^2n^3 = 8m^2n^3(3n^2 - 2)$.
Ответ: $8m^2n^3(3n^2 - 2)$

г)

Разложим на множители выражение $7b^3c^3 + 14b^4c^2$.

1. Найдем НОД для коэффициентов 7 и 14.
НОД(7, 14) = 7.

2. Найдем общие множители для переменных.
Для переменной $b$ имеем $b^3$ и $b^4$. Выносим $b^3$.
Для переменной $c$ имеем $c^3$ и $c^2$. Выносим $c^2$.

3. Общий множитель всего выражения: $7b^3c^2$.

4. Вынесем $7b^3c^2$ за скобки:
$7b^3c^3 : (7b^3c^2) = b^{3-3}c^{3-2} = b^0c^1 = c$.
$14b^4c^2 : (7b^3c^2) = 2b^{4-3}c^{2-2} = 2b^1c^0 = 2b$.

Записываем результат: $7b^3c^3 + 14b^4c^2 = 7b^3c^2(c + 2b)$.
Ответ: $7b^3c^2(c + 2b)$