Номер 7.10, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.10, страница 193.

Условие.

Разложите на множители (7.10–7.11).

7.10 a) $nm^2 + mn + n^2;$

б) $-m^3 - m^2n - mn^2;$

в) $ax^2 + a^2x - ax;$

г) $3x^3 - 2x^2 - x;$

д) $3n^6 + 6n^5 - 12n^4;$

е) $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $nm^2 + mn + n^2$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель для всех его членов. Мы видим, что каждый член многочлена содержит переменную $n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$nm^2 + mn + n^2 = n \cdot m^2 + n \cdot m + n \cdot n = n(m^2 + m + n)$

Выражение в скобках $m^2 + m + n$ не раскладывается на более простые множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $n(m^2 + m + n)$

б) $-m^3 - m^2n - mn^2$

Все члены многочлена имеют общий множитель. Коэффициенты -1, -1, -1 и переменная $m$ в первой степени являются общими для всех членов. Вынесем за скобки $-m$.

$-m^3 - m^2n - mn^2 = -m(m^2 + mn + n^2)$

Выражение в скобках $m^2 + mn + n^2$ является неполным квадратом суммы и на множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Ответ: $-m(m^2 + mn + n^2)$

в) $ax^2 + a^2x - ax$

Найдем общий множитель для всех слагаемых. Каждое слагаемое содержит переменные $a$ и $x$. Наименьшая степень $a$ равна 1, наименьшая степень $x$ также равна 1. Следовательно, общий множитель — $ax$. Вынесем его за скобки.

$ax^2 + a^2x - ax = ax(x + a - 1)$

Ответ: $ax(x + a - 1)$

г) $3x^3 - 2x^2 - x$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3x^3 - 2x^2 - x = x(3x^2 - 2x - 1)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $3x^2 - 2x - 1$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{6} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3x^2 - 2x - 1 = 3(x-1)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$x(x-1)(3x+1)$

Ответ: $x(x-1)(3x+1)$

д) $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$

Найдем наибольший общий делитель для всех членов многочлена. Наибольший общий делитель коэффициентов 3, 6 и -12 равен 3. Наименьшая степень переменной $n$ равна 4, поэтому общим множителем для степеней будет $n^4$. Выносим за скобки $3n^4$.

$3n^6 + 6n^5 - 12n^4 = 3n^4(n^2 + 2n - 4)$

Проверим, можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами квадратный трехчлен $n^2 + 2n - 4$. Найдем дискриминант уравнения $n^2 + 2n - 4 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.

Поскольку дискриминант $D=20$ не является полным квадратом, корни уравнения иррациональны, и трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $3n^4(n^2 + 2n - 4)$

е) $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6$

Перепишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $m$:

$-2m^6 - 4m^5 - 6m^4$

Найдем общий множитель. Для коэффициентов -2, -4, -6 общим делителем является -2. Для переменных $m^6, m^5, m^4$ общим множителем является $m^4$. Вынесем за скобки $-2m^4$.

$-2m^6 - 4m^5 - 6m^4 = -2m^4(m^2 + 2m + 3)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $m^2 + 2m + 3$. Найдем дискриминант уравнения $m^2 + 2m + 3 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у трехчлена нет действительных корней, и он не может быть разложен на множители над полем действительных чисел.

Ответ: $-2m^4(m^2 + 2m + 3)$