Номер 7.17, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (7.17–7.18)

7.17 Найдите значение выражения:

a) $\frac{5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26}}{2^{50}}$;

б) $\frac{3^{51} - 4 \cdot 3^{50}}{9^{26}}$.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26}}{2^{50}}$.
Для упрощения числителя вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^{26}$. Для этого представим $4^{27}$ как $4^{26} \cdot 4^1$.
$5 \cdot 4^{27} - 21 \cdot 4^{26} = 5 \cdot (4^{26} \cdot 4) - 21 \cdot 4^{26}$
Выносим $4^{26}$ за скобки:
$4^{26} \cdot (5 \cdot 4 - 21) = 4^{26} \cdot (20 - 21) = 4^{26} \cdot (-1) = -4^{26}$.
Теперь преобразуем числитель и знаменатель к одному основанию. Так как $4 = 2^2$, мы можем записать:
Числитель: $-4^{26} = -(2^2)^{26} = -2^{2 \cdot 26} = -2^{52}$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{-2^{52}}{2^{50}}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$-2^{52-50} = -2^2 = -4$.
Ответ: -4

б)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{51} - 4 \cdot 3^{50}}{9^{26}}$.
Сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $3^{50}$. Для этого представим $3^{51}$ как $3^{50} \cdot 3^1$.
$3^{51} - 4 \cdot 3^{50} = (3^{50} \cdot 3) - 4 \cdot 3^{50}$
Выносим $3^{50}$ за скобки:
$3^{50} \cdot (3 - 4) = 3^{50} \cdot (-1) = -3^{50}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Представим основание 9 в виде степени с основанием 3, так как $9 = 3^2$:
$9^{26} = (3^2)^{26} = 3^{2 \cdot 26} = 3^{52}$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{-3^{50}}{3^{52}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$-3^{50-52} = -3^{-2}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$-3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $-\frac{1}{9}$