Номер 7.63, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители (7.63–7.64).

7.63 a) $x^3 + y^3$;

б) $x^3 + 1$;

в) $m^3 + 27$;

г) $8 + c^3$;

д) $y^3 + \frac{1}{8}$;

е) $\frac{8}{27} + z^3$.

Для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму кубов, используется следующая формула сокращенного умножения:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Применим эту формулу к каждому из данных выражений.

а) $x^3 + y^3$

В данном случае выражение уже представлено в виде суммы кубов. Здесь $a = x$ и $b = y$. Применяем формулу:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

б) $x^3 + 1$

Представим число 1 как куб единицы: $1 = 1^3$. Тогда выражение примет вид $x^3 + 1^3$. Здесь $a = x$ и $b = 1$.

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

в) $m^3 + 27$

Представим число 27 как куб тройки: $27 = 3^3$. Тогда выражение примет вид $m^3 + 3^3$. Здесь $a = m$ и $b = 3$.

$m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

Ответ: $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

г) $8 + c^3$

Представим число 8 как куб двойки: $8 = 2^3$. Тогда выражение примет вид $2^3 + c^3$. Здесь $a = 2$ и $b = c$.

$2^3 + c^3 = (2 + c)(2^2 - 2 \cdot c + c^2) = (2 + c)(4 - 2c + c^2)$

Ответ: $(2 + c)(4 - 2c + c^2)$

д) $y^3 + \frac{1}{8}$

Представим дробь $\frac{1}{8}$ как куб числа $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$. Тогда выражение примет вид $y^3 + (\frac{1}{2})^3$. Здесь $a = y$ и $b = \frac{1}{2}$.

$y^3 + (\frac{1}{2})^3 = (y + \frac{1}{2})(y^2 - y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = (y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

Ответ: $(y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

е) $\frac{8}{27} + z^3$

Представим дробь $\frac{8}{27}$ как куб числа $\frac{2}{3}$: $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$. Тогда выражение примет вид $(\frac{2}{3})^3 + z^3$. Здесь $a = \frac{2}{3}$ и $b = z$.

$(\frac{2}{3})^3 + z^3 = (\frac{2}{3} + z)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot z + z^2) = (\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$

Ответ: $(\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$