Номер 7.57, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Представьте в виде многочлена (7.57–7.58).

7.57 а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4;$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6;$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3.$

а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.

1. Применим формулу разности квадратов к первым двум произведениям:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$-a(2a + 1) = -a \cdot 2a - a \cdot 1 = -2a^2 - a$

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - 9) + (a^2 - 4) - 2a^2 - a + 4 = a^2 - 9 + a^2 - 4 - 2a^2 - a + 4$

Сгруппируем подобные члены:

$(a^2 + a^2 - 2a^2) - a + (-9 - 4 + 4) = (2a^2 - 2a^2) - a - 9 = 0 - a - 9 = -a - 9$

Ответ: $-a - 9$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6$

Используем те же алгебраические правила, что и в предыдущем пункте.

1. Применим формулу разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$-2x(x + 3) = -2x \cdot x - 2x \cdot 3 = -2x^2 - 6x$

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^2 - 1) + (x^2 - 25) - 2x^2 - 6x + 6 = x^2 - 1 + x^2 - 25 - 2x^2 - 6x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) - 6x + (-1 - 25 + 6) = (2x^2 - 2x^2) - 6x - 20 = 0 - 6x - 20 = -6x - 20$

Ответ: $-6x - 20$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3$

Аналогично предыдущим пунктам, упростим выражение шаг за шагом.

1. Применим формулу разности квадратов:

$(1 - 2x)(1 + 2x) = 1^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$

$-(2 - x)(2 + x) = -(2^2 - x^2) = -(4 - x^2) = x^2 - 4$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$5(x^2 - 1) = 5x^2 - 5$

3. Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:

$(1 - 4x^2) + (x^2 - 4) + (5x^2 - 5) - 3 = 1 - 4x^2 + x^2 - 4 + 5x^2 - 5 - 3$

Сгруппируем подобные члены:

$(-4x^2 + x^2 + 5x^2) + (1 - 4 - 5 - 3) = (-3x^2 + 5x^2) + (-3 - 5 - 3) = 2x^2 - 11$

Ответ: $2x^2 - 11$