Страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.190 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2; на 5; на 8? Приведите пример числа каждого вида.

Разбиение множества неотрицательных целых чисел ($0, 1, 2, 3, \ldots$) на классы по остаткам от деления на натуральное число $n$ — это разделение всех этих чисел на группы. В каждую группу попадают числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на $n$. Так как остаток от деления на $n$ может быть любым целым числом от $0$ до $n-1$, то всего существует $n$ таких классов.

По остаткам от деления на 2

При делении любого неотрицательного целого числа на 2 возможны два остатка: 0 и 1. Таким образом, множество неотрицательных целых чисел разбивается на два класса.

• Класс чисел, дающих остаток 0 при делении на 2. Это все четные числа, которые можно представить в виде $2k$, где $k$ — неотрицательное целое число.
  Пример: число 8, так как $8 = 2 \cdot 4 + 0$.
• Класс чисел, дающих остаток 1 при делении на 2. Это все нечетные числа, которые можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — неотрицательное целое число.
  Пример: число 9, так как $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Ответ: Множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 разбивается на два класса: класс чисел с остатком 0 (например, 12) и класс чисел с остатком 1 (например, 13).

По остаткам от деления на 5

При делении на 5 возможны пять различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Следовательно, множество неотрицательных целых чисел разбивается на пять классов.

• Класс чисел с остатком 0 (вид $5k$). Пример: 10 ($10 = 5 \cdot 2 + 0$).
• Класс чисел с остатком 1 (вид $5k+1$). Пример: 6 ($6 = 5 \cdot 1 + 1$).
• Класс чисел с остатком 2 (вид $5k+2$). Пример: 17 ($17 = 5 \cdot 3 + 2$).
• Класс чисел с остатком 3 (вид $5k+3$). Пример: 3 ($3 = 5 \cdot 0 + 3$).
• Класс чисел с остатком 4 (вид $5k+4$). Пример: 19 ($19 = 5 \cdot 3 + 4$).

Ответ: Множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 5 разбивается на пять классов: классы чисел с остатками 0, 1, 2, 3, 4. Примеры чисел для каждого класса: 5 (остаток 0), 11 (остаток 1), 7 (остаток 2), 13 (остаток 3), 9 (остаток 4).

По остаткам от деления на 8

При делении на 8 возможны восемь различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Соответственно, множество неотрицательных целых чисел разбивается на восемь классов.

• Класс чисел с остатком 0 (вид $8k$). Пример: 16 ($16 = 8 \cdot 2 + 0$).
• Класс чисел с остатком 1 (вид $8k+1$). Пример: 9 ($9 = 8 \cdot 1 + 1$).
• Класс чисел с остатком 2 (вид $8k+2$). Пример: 18 ($18 = 8 \cdot 2 + 2$).
• Класс чисел с остатком 3 (вид $8k+3$). Пример: 11 ($11 = 8 \cdot 1 + 3$).
• Класс чисел с остатком 4 (вид $8k+4$). Пример: 4 ($4 = 8 \cdot 0 + 4$).
• Класс чисел с остатком 5 (вид $8k+5$). Пример: 21 ($21 = 8 \cdot 2 + 5$).
• Класс чисел с остатком 6 (вид $8k+6$). Пример: 6 ($6 = 8 \cdot 0 + 6$).
• Класс чисел с остатком 7 (вид $8k+7$). Пример: 15 ($15 = 8 \cdot 1 + 7$).

Ответ: Множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 8 разбивается на восемь классов: классы чисел с остатками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Примеры чисел для каждого класса: 8 (остаток 0), 17 (остаток 1), 26 (остаток 2), 3 (остаток 3), 12 (остаток 4), 5 (остаток 5), 22 (остаток 6), 31 (остаток 7).