Номер 6.174, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.174 а) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов, имеющие одинаковую площадь дна. У одной из них дно квадратное, а у другой — прямоугольное. Длина прямоугольной формы на 8 см больше, а ширина на 6 см меньше, чем сторона квадратной формы. Найдите размеры дна каждой формы.

б) Под строительство был отведён участок земли, имеющий форму квадрата. Площадь этого участка пришлось увеличить на $830 \text{ м}^2$. Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м, а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы. Чему была равна площадь первоначального участка?

а)

Пусть сторона дна квадратной формы равна $x$ см. Тогда её площадь составляет $S_1 = x^2$ см$^2$.

Согласно условию, длина дна прямоугольной формы на 8 см больше стороны квадратной, то есть равна $(x+8)$ см. Ширина дна прямоугольной формы на 6 см меньше стороны квадратной, то есть равна $(x-6)$ см. Площадь дна прямоугольной формы составляет $S_2 = (x+8)(x-6)$ см$^2$.

Так как площади дна обеих форм одинаковы ($S_1 = S_2$), мы можем составить и решить уравнение:

$x^2 = (x+8)(x-6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 = x^2 - 6x + 8x - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 = x^2 + 2x - 48$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$x^2 - x^2 - 2x = -48$

$-2x = -48$

$x = \frac{-48}{-2}$

$x = 24$

Таким образом, сторона дна квадратной формы равна 24 см.

Теперь найдем размеры дна прямоугольной формы:

Длина: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ см.

Ширина: $x - 6 = 24 - 6 = 18$ см.

Проверим: площадь квадратной формы $24^2 = 576$ см$^2$. Площадь прямоугольной формы $32 \times 18 = 576$ см$^2$. Площади равны, значит, решение верное.

Ответ: размеры дна квадратной формы — 24 см на 24 см, размеры дна прямоугольной формы — 32 см на 18 см.

б)

Пусть сторона первоначального квадратного участка земли была $y$ м. Тогда его площадь была равна $S_{нач} = y^2$ м$^2$.

Для нового участка одну сторону увеличили на 4 м, её длина стала $(y+4)$ м. Другую сторону увеличили на 5 м, её длина стала $(y+5)$ м. В результате получился прямоугольный участок.

Площадь нового прямоугольного участка равна $S_{нов} = (y+4)(y+5)$ м$^2$.

По условию, площадь нового участка на 830 м$^2$ больше площади первоначального, то есть $S_{нов} = S_{нач} + 830$. Составим и решим уравнение:

$(y+4)(y+5) = y^2 + 830$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + 5y + 4y + 20 = y^2 + 830$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 9y + 20 = y^2 + 830$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:

$9y + 20 = 830$

$9y = 830 - 20$

$9y = 810$

$y = \frac{810}{9}$

$y = 90$

Итак, сторона первоначального квадратного участка была равна 90 м.

Вопрос задачи — найти площадь первоначального участка.

$S_{нач} = y^2 = 90^2 = 8100$ м$^2$.

Ответ: площадь первоначального участка была равна 8100 м$^2$.