Номер 6.167, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (чтобы легче было составить уравнение, сделайте рисунок, 6.167–6.169).

6.167 а) Турист вышел из пункта А по направлению к пункту В, расстояние до которого равно 9 км. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, скорость которого на 10 км/ч больше скорости туриста. Через 0,5 ч они встретились. Определите скорость, с которой шёл турист.

б) Два мальчика выбегают одновременно навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 660 м, и встречаются через 2 мин. Один из них пробегает на 30 м в минуту меньше, чем другой. Сколько метров в минуту пробегает каждый из них?

а) Обозначим скорость туриста за $x$ км/ч. Поскольку скорость велосипедиста на 10 км/ч больше, она составляет $(x + 10)$ км/ч.Турист и велосипедист движутся навстречу друг другу из пунктов A и B. Это означает, что их суммарная скорость, или скорость сближения, определяет, как быстро они преодолеют расстояние между собой.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:$v_{сбл} = v_{туриста} + v_{велосипедиста} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

За время $t = 0,5$ ч они вместе преодолели всё расстояние $S = 9$ км. Расстояние равно произведению скорости сближения на время: $S = v_{сбл} \cdot t$.Подставим известные значения в формулу:

$9 = (2x + 10) \cdot 0,5$

Чтобы решить это уравнение, можно сначала разделить обе части на 0,5 (что эквивалентно умножению на 2):

$9 / 0,5 = 2x + 10$

$18 = 2x + 10$

Теперь вычтем 10 из обеих частей:

$18 - 10 = 2x$

$8 = 2x$

И разделим на 2, чтобы найти $x$:

$x = 8 / 2$

$x = 4$

Таким образом, скорость туриста равна 4 км/ч.

Ответ: скорость, с которой шёл турист, равна 4 км/ч.

б) Пусть скорость одного мальчика равна $v_1$ м/мин, а скорость второго — $v_2$ м/мин. Они бегут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.Им нужно преодолеть общее расстояние $S = 660$ м, и они встречаются через $t = 2$ мин.

Найдем их скорость сближения по формуле $v_{сбл} = S / t$:

$v_{сбл} = 660 / 2 = 330$ м/мин.

Значит, сумма скоростей мальчиков равна 330 м/мин:

$v_1 + v_2 = 330$

По условию, один из них пробегает на 30 м в минуту меньше, чем другой. Допустим, первый мальчик бежит медленнее. Тогда его скорость $v_1$ связана со скоростью второго мальчика $v_2$ следующим образом:

$v_1 = v_2 - 30$ или, что то же самое, $v_2 = v_1 + 30$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $v_1 + v_2 = 330$

2. $v_2 = v_1 + 30$

Подставим выражение для $v_2$ из второго уравнения в первое:

$v_1 + (v_1 + 30) = 330$

Решим полученное уравнение:

$2v_1 + 30 = 330$

$2v_1 = 330 - 30$

$2v_1 = 300$

$v_1 = 300 / 2$

$v_1 = 150$ м/мин.

Это скорость более медленного мальчика. Теперь найдем скорость второго мальчика, используя уравнение $v_2 = v_1 + 30$:

$v_2 = 150 + 30 = 180$ м/мин.

Скорости мальчиков равны 150 м/мин и 180 м/мин.

Ответ: один мальчик пробегает 150 метров в минуту, а другой — 180 метров в минуту.