Номер 6.168, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.8. Решение задач с помощью уравнений. Глава 6. Многочлены - номер 6.168, страница 178.

Условие.

6.168 а) Расстояние между двумя железнодорожными станциями A и B равно 300 км. От станции A по направлению к станции B вышел пассажирский поезд. Одновременно навстречу ему от станции B вышел электропоезд, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости пассажирского поезда. Они встретились через 2 ч на разъезде. На каком расстоянии от A и от B находится разъезд?

б) Расстояние между домами Андрея и Бориса, расположенными на одном шоссе, 2 км. Они выходят одновременно из своих домов навстречу друг другу и встречаются через 0,2 ч. Скорость Андрея на 1 км/ч больше скорости Бориса. На каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча?

Подсказка. Задачу легче решить, если обозначить буквой какую-нибудь из скоростей.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Пусть скорость пассажирского поезда, вышедшего из станции А, равна $v_п$ км/ч. Согласно условию, скорость электропоезда, вышедшего из станции В, на 30 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v_п - 30)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_п + (v_п - 30) = 2v_п - 30$ км/ч.

Общее расстояние между станциями составляет 300 км. Поезда встретились через 2 часа. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $S$ — общее расстояние, $v$ — скорость сближения, а $t$ — время, составим уравнение:

$300 = (2v_п - 30) \cdot 2$

Решим это уравнение, чтобы найти скорость пассажирского поезда:

$300 = 4v_п - 60$

$300 + 60 = 4v_п$

$360 = 4v_п$

$v_п = 360 / 4 = 90$ км/ч.

Скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч. Теперь найдем скорость электропоезда:

$v_э = v_п - 30 = 90 - 30 = 60$ км/ч.

Чтобы найти, на каком расстоянии от станций А и В находится разъезд, нужно рассчитать путь, пройденный каждым поездом за 2 часа.

Расстояние от станции А до разъезда (путь пассажирского поезда):

$S_А = v_п \cdot t = 90 \cdot 2 = 180$ км.

Расстояние от станции В до разъезда (путь электропоезда):

$S_В = v_э \cdot t = 60 \cdot 2 = 120$ км.

Проверка: $180 \text{ км} + 120 \text{ км} = 300 \text{ км}$, что соответствует общему расстоянию между станциями.

Ответ: разъезд находится на расстоянии 180 км от станции А и 120 км от станции В.

б)

Пусть скорость Бориса равна $x$ км/ч. По условию, скорость Андрея на 1 км/ч больше, значит, она равна $(x + 1)$ км/ч.

Андрей и Борис идут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = x + (x + 1) = 2x + 1$ км/ч.

Расстояние между их домами — 2 км, а время до встречи — 0,2 часа. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим уравнение:

$2 = (2x + 1) \cdot 0.2$

Решим полученное уравнение:

$2 = 0.4x + 0.2$

$2 - 0.2 = 0.4x$

$1.8 = 0.4x$

$x = 1.8 / 0.4 = 18 / 4 = 4.5$ км/ч.

Мы нашли скорость Бориса — она равна 4,5 км/ч. Вопрос задачи — на каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча. Для этого нужно найти расстояние, которое прошел Борис за 0,2 часа.

$S_Б = v_Б \cdot t = 4.5 \cdot 0.2 = 0.9$ км.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 0,9 км от дома Бориса.