Номер 6.173, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (сделайте рисунок по условию задачи, 6.173—6.174).

6.173 а) Площадь квадрата равна площади прямоугольника, одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата, а другая на 2 см больше стороны квадрата. Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника.

б) Площадь квадрата на $63 \text{ см}^2$ больше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше, а другая на 6 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

а) Пусть длина стороны квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{кв}$ составляет $x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 1 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x - 1)$ см. Другая сторона на 2 см больше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x + 2)$ см. Так как длина стороны должна быть положительным числом, то $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$.
Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x - 1)(x + 2)$ см$^2$.
По условию, площади фигур равны, то есть $S_{кв} = S_{пр}$. Составим уравнение:
$x^2 = (x - 1)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = x^2 + 2x - x - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 + x - 2$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$x^2 - x^2 - x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$
Это значение удовлетворяет условию $x > 1$.
Таким образом, длина стороны квадрата равна 2 см.
Длины сторон прямоугольника равны:
$x - 1 = 2 - 1 = 1$ см
$x + 2 = 2 + 2 = 4$ см
Ответ: длина стороны квадрата 2 см, длины сторон прямоугольника 1 см и 4 см.

б) Пусть длина стороны квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{кв}$ составляет $x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x + 3)$ см. Другая сторона на 6 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x - 6)$ см. Так как длина стороны должна быть положительным числом, то $x - 6 > 0$, что означает $x > 6$.
Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x + 3)(x - 6)$ см$^2$.
По условию, площадь квадрата на 63 см$^2$ больше площади прямоугольника, то есть $S_{кв} = S_{пр} + 63$. Составим уравнение:
$x^2 = (x + 3)(x - 6) + 63$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = (x^2 - 6x + 3x - 18) + 63$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 - 3x + 45$
Перенесем члены с $x^2$ и $x$ в левую часть уравнения:
$x^2 - x^2 + 3x = 45$
$3x = 45$
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$
Это значение удовлетворяет условию $x > 6$.
Таким образом, длина стороны квадрата равна 15 см.
Требуется найти площадь квадрата:
$S_{кв} = x^2 = 15^2 = 225$ см$^2$
Ответ: площадь квадрата 225 см$^2$.