Номер 6.171, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу на движение по реке (6.171–6.172).

6.171 а) Катер по течению реки прошёл за 3,5 ч такое же расстояние, какое он проходит за 4 ч против течения реки. Собственная скорость катера 30 км/ч. Определите скорость течения реки. Какое расстояние прошёл катер по течению реки?

б) Теплоход прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. Чему равно расстояние между пристанями?

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки.
Собственная скорость катера $v_{соб} = 30$ км/ч.
Тогда скорость катера по течению реки равна $v_{по} = (30 + x)$ км/ч.
Скорость катера против течения реки равна $v_{пр} = (30 - x)$ км/ч.

Время движения по течению $t_{по} = 3,5$ ч.
Время движения против течения $t_{пр} = 4$ ч.

Расстояние, пройденное катером по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (30 + x) \cdot 3,5$ км.
Расстояние, пройденное катером против течения: $S_{пр} = v_{пр} \cdot t_{пр} = (30 - x) \cdot 4$ км.

По условию задачи, эти расстояния равны. Составим и решим уравнение:
$(30 + x) \cdot 3,5 = (30 - x) \cdot 4$
$105 + 3,5x = 120 - 4x$
$3,5x + 4x = 120 - 105$
$7,5x = 15$
$x = 15 / 7,5$
$x = 2$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Теперь найдем расстояние, которое прошёл катер по течению реки:
$S_{по} = (30 + 2) \cdot 3,5 = 32 \cdot 3,5 = 112$ км.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч, расстояние, пройденное катером по течению реки, — 112 км.

б)

Пусть $y$ км/ч — собственная скорость теплохода.
Скорость течения реки $v_{теч} = 2$ км/ч.
Тогда скорость теплохода по течению реки равна $v_{по} = (y + 2)$ км/ч.
Скорость теплохода против течения реки равна $v_{пр} = (y - 2)$ км/ч.

Время движения по течению $t_{по} = 4$ ч.
Время движения против течения $t_{пр} = 5$ ч.

Расстояние между пристанями можно выразить двумя способами:
Двигаясь по течению: $S = (y + 2) \cdot 4$ км.
Двигаясь против течения: $S = (y - 2) \cdot 5$ км.

Поскольку расстояние одно и то же, приравняем эти два выражения и решим уравнение:
$(y + 2) \cdot 4 = (y - 2) \cdot 5$
$4y + 8 = 5y - 10$
$8 + 10 = 5y - 4y$
$18 = y$

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

Теперь найдем расстояние между пристанями, подставив значение $y$ в любое из выражений для $S$:
$S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$ км.

Ответ: собственная скорость теплохода 18 км/ч, расстояние между пристанями — 80 км.