Номер 6.181, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.181 Если автомобиль будет ехать со скоростью $60 \text{ км/ч}$, он приедет из пункта $A$ в пункт $B$ в назначенное время. Проехав полпути со скоростью $60 \text{ км/ч}$, автомобиль увеличил скорость на $20 \text{ км/ч}$ и приехал в пункт $B$ на $1/4 \text{ часа}$ раньше назначенного времени. Определите, за какое время автомобиль должен был доехать от пункта $A$ до пункта $B$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние от пункта А до пункта В (в км).
• $T$ – запланированное время в пути (в часах), которое нам нужно найти.
• $v_1$ – запланированная скорость автомобиля, $v_1 = 60$ км/ч.
• $v_2$ – скорость автомобиля на второй половине пути, $v_2 = 60 + 20 = 80$ км/ч.
• $\Delta t$ – выигрыш во времени, $\Delta t = \frac{1}{4}$ часа (четверть часа).

Решение:

По условию, если бы автомобиль ехал весь путь с запланированной скоростью, он бы затратил время $T$. Связь между расстоянием, скоростью и временем выражается формулой $S = v \cdot t$. Таким образом, запланированное время равно:

$T = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60}$

Рассмотрим реальное движение автомобиля. Весь путь можно разделить на два равных участка по $S/2$.

1. Первая половина пути:
Расстояние: $\frac{S}{2}$ км.
Скорость: $v_1 = 60$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути ($t_1$):
$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ часа.

2. Вторая половина пути:
Расстояние: $\frac{S}{2}$ км.
Скорость: $v_2 = 80$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути ($t_2$):
$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$ часа.

Общее время, которое автомобиль фактически затратил на весь путь, равно $T_{факт} = t_1 + t_2$.
$T_{факт} = \frac{S}{120} + \frac{S}{160}$

По условию, автомобиль приехал на четверть часа раньше запланированного времени. Это значит, что фактическое время меньше запланированного на $\frac{1}{4}$ часа.
$T - T_{факт} = \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $T$ и $T_{факт}$ в это уравнение:

$\frac{S}{60} - (\frac{S}{120} + \frac{S}{160}) = \frac{1}{4}$

Можно заметить, что выигрыш во времени произошел только на второй половине пути. Запланированное время на вторую половину пути было бы $\frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$, а фактическое время составило $\frac{S}{160}$. Разница между ними и есть сэкономленное время:

$\frac{S}{120} - \frac{S}{160} = \frac{1}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 120 и 160 равно 480.

$\frac{4 \cdot S}{480} - \frac{3 \cdot S}{480} = \frac{1}{4}$

$\frac{4S - 3S}{480} = \frac{1}{4}$

$\frac{S}{480} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим расстояние $S$:

$S = \frac{480}{4} = 120$ км.

Теперь, зная общее расстояние, мы можем найти запланированное время $T$, за которое автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В.

$T = \frac{S}{v_1} = \frac{120 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.