Номер 6.187, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.187 у Наташи есть аквариум с прямоугольным дном, одна сторона которого на 16 см больше другой. Она заменила его большим аквариумом, длина и ширина дна которого на 4 см больше. Она заметила, что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см, то потребуется на 6 л больше воды, чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту. Найдите размеры дна нового аквариума.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ см – это ширина дна старого аквариума. Согласно условию, другая сторона (длина) на 16 см больше, то есть ее размер составляет $(x + 16)$ см.

Площадь дна старого аквариума можно выразить как произведение его сторон: $S_{старый} = x \cdot (x + 16)$ см².

Наташа заменила аквариум на новый, у которого длина и ширина дна на 4 см больше соответствующих размеров старого. Таким образом, размеры дна нового аквариума будут:

Ширина нового аквариума: $x + 4$ см.

Длина нового аквариума: $(x + 16) + 4 = x + 20$ см.

Площадь дна нового аквариума: $S_{новый} = (x + 4) \cdot (x + 20)$ см².

Объем воды в аквариуме вычисляется по формуле $V = S_{дна} \cdot h$, где $h$ – высота уровня воды. По условию, в оба аквариума наливают воду до высоты $h = 30$ см.

Объем воды в старом аквариуме: $V_{старый} = S_{старый} \cdot h = x(x + 16) \cdot 30$ см³.

Объем воды в новом аквариуме: $V_{новый} = S_{новый} \cdot h = (x + 4)(x + 20) \cdot 30$ см³.

Известно, что для заполнения нового аквариума потребовалось на 6 литров воды больше. Прежде всего, переведем литры в кубические сантиметры, зная, что 1 л = 1000 см³: $6$ л $= 6 \cdot 1000 = 6000$ см³.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу в объемах: $V_{новый} - V_{старый} = 6000$

Подставим выражения для объемов: $30 \cdot (x + 4)(x + 20) - 30 \cdot x(x + 16) = 6000$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30: $(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = \frac{6000}{30}$ $(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = 200$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(x^2 + 20x + 4x + 80) - (x^2 + 16x) = 200$

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 24x + 80 - x^2 - 16x = 200$ $(x^2 - x^2) + (24x - 16x) + 80 = 200$ $8x + 80 = 200$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$: $8x = 200 - 80$ $8x = 120$ $x = \frac{120}{8}$ $x = 15$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой ширину дна старого аквариума. Теперь, используя это значение, найдем размеры дна нового аквариума.

Ширина дна нового аквариума: $x + 4 = 15 + 4 = 19$ см.

Длина дна нового аквариума: $x + 20 = 15 + 20 = 35$ см.

Ответ: Размеры дна нового аквариума составляют 19 см и 35 см.