Номер 6.186, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.186 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу, в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на $460 \text{ см}^2$ больше, чем она занимала без окантовки. Найдите размеры и площадь картинки.

Обозначим сторону квадратной картинки через $x$ см.

Тогда площадь картинки без окантовки составляет $S_{картинки} = x^2$ см².

После того как картинку наклеили на бумагу, вокруг нее образовалась окантовка шириной 5 см. Это значит, что размеры нового, большего квадрата (картинка вместе с окантовкой) увеличились. Новая сторона стала равна исходной стороне плюс ширина окантовки с двух сторон:

Сторона с окантовкой $= x + 5 + 5 = x + 10$ см.

Площадь картинки вместе с окантовкой составляет $S_{общая} = (x + 10)^2$ см².

По условию задачи, площадь с окантовкой стала на 460 см² больше, чем площадь без окантовки. Это означает, что площадь самой окантовки равна 460 см². Площадь окантовки можно вычислить как разность общей площади и площади картинки.

Составим и решим уравнение:

$S_{общая} - S_{картинки} = 460$

$(x + 10)^2 - x^2 = 460$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - x^2 = 460$

$x^2 + 20x + 100 - x^2 = 460$

Сократим $x^2$ и $-x^2$:

$20x + 100 = 460$

Перенесем 100 в правую часть уравнения:

$20x = 460 - 100$

$20x = 360$

$x = \frac{360}{20}$

$x = 18$

Итак, мы нашли сторону исходной квадратной картинки — она равна 18 см.

Найдем размеры и площадь картинки:

Размеры картинки (длина и ширина) равны 18 см.

Площадь картинки вычисляется по формуле $S = x^2$:

$S_{картинки} = 18^2 = 324$ см².

Ответ: размеры картинки — 18 см × 18 см, площадь картинки — 324 см².