Номер 3, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $4x^2 - x + 5$ и вычитание второго многочлена из первого.

Даны два многочлена: первый $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и второй $4x^2 - x + 5$.

сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, необходимо сгруппировать и сложить их подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью).

1. Запишем сумму многочленов, взяв каждый в скобки:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) + (4x^2 - x + 5)$

2. Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «плюс», знаки членов многочлена не меняются:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 + 4x^2 - x + 5$

3. Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 + 4x^2) + (-2x - x) + (5 + 5)$

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$x^3 + (1)x^2 + (-3)x + 10$

Получаем итоговый многочлен:

$x^3 + x^2 - 3x + 10$

Ответ: $x^3 + x^2 - 3x + 10$

вычитание второго многочлена из первого

Чтобы вычесть один многочлен из другого, необходимо к первому многочлену прибавить многочлен, противоположный второму (то есть изменить знаки всех его членов на противоположные).

1. Запишем разность многочленов, взяв каждый в скобки:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) - (4x^2 - x + 5)$

2. Раскроем скобки. Поскольку перед вторыми скобками стоит знак «минус», знаки всех членов в них меняются на противоположные:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 - 4x^2 + x - 5$

3. Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 - 4x^2) + (-2x + x) + (5 - 5)$

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$x^3 + (-7)x^2 + (-1)x + 0$

Получаем итоговый многочлен:

$x^3 - 7x^2 - x$

Ответ: $x^3 - 7x^2 - x$