Номер 6.61, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.61 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11;

б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.

а)

Пусть четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $\overline{aaaa}$, где $a$ — это цифра от 1 до 9 (цифра не может быть 0, иначе число не будет четырёхзначным).

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$

Чтобы доказать, что число $\overline{aaaa}$ делится на 11, достаточно показать, что один из множителей в произведении $a \cdot 1111$ делится на 11. Проверим, делится ли число 1111 на 11:
$1111 \div 11 = 101$

Так как 1111 делится на 11 без остатка, то мы можем представить число $\overline{aaaa}$ в следующем виде:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1111 = a \cdot (11 \cdot 101) = 11 \cdot (101 \cdot a)$

Поскольку число $\overline{aaaa}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 11, то оно делится на 11, что и требовалось доказать.

Также можно использовать признак делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (сумма цифр на нечетных местах минус сумма цифр на четных местах) делится на 11. Для числа $\overline{aaaa}$ эта сумма равна:
$(a + a) - (a + a) = a - a + a - a = 0$
Число 0 делится на 11 ($0 \div 11 = 0$), следовательно, любое число вида $\overline{aaaa}$ делится на 11.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $\overline{aaa}$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых и вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Докажем, что число делится на 37.
Для этого проверим, делится ли число 111 на 37:
$111 \div 37 = 3$

Так как 111 делится на 37, то число $\overline{aaa}$ можно представить в виде:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37) = 37 \cdot (3 \cdot a)$

Поскольку число $\overline{aaa}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 37, то оно делится на 37.

Докажем, что число не делится на 11.
Рассмотрим произведение $a \cdot 111$. Для того чтобы оно делилось на простое число 11, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей ($a$ или 111) делился на 11.

1. Проверим множитель 111:
$111 = 110 + 1 = 11 \cdot 10 + 1$. При делении 111 на 11 получаем остаток 1. Следовательно, 111 не делится на 11.

2. Множитель $a$ — это цифра от 1 до 9. Ни одна из этих цифр не делится на 11.

Так как ни один из множителей ($a$ и 111) не делится на 11, то и их произведение $\overline{aaa}$ не делится на 11.

Используя признак делимости на 11, для числа $\overline{aaa}$ знакопеременная сумма цифр равна:
$a - a + a = a$
Чтобы число $\overline{aaa}$ делилось на 11, необходимо, чтобы $a$ делилось на 11. Но $a$ — это цифра от 1 до 9, и ни одна из них не делится на 11. Значит, число $\overline{aaa}$ не делится на 11.

Ответ: Доказано.