Номер 6.1, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.1 1) Запишите в виде степени:

а) $x^3x^5$; б) $bb^4b^5$; в) $xx^2x^3x^4$; г) $n^2n^2n^2$.

2) Упростите:

а) $a^2b^3a$; б) $x^3a^2xa^5$; в) $xx^4y^2y$; г) $a^2c^4ac^{10}ac$.

3) Выполните умножение:

а) $a^xa^y$; б) $x^nx^5$; в) $yy^n$; г) $c^nc^n$.

1) Запишите в виде степени:

• а) Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — 3 и 5. Складываем показатели: $3 + 5 = 8$.
  $x^3 x^5 = x^{3+5} = x^8$.
  Ответ: $x^8$.

• б) Используем то же свойство. Следует помнить, что любое число или переменная без показателя степени имеет показатель 1, то есть $b = b^1$. Складываем показатели степеней с основанием $b$: $1 + 4 + 5 = 10$.
  $b b^4 b^5 = b^1 \cdot b^4 \cdot b^5 = b^{1+4+5} = b^{10}$.
  Ответ: $b^{10}$.

• в) Аналогично предыдущему пункту, $x = x^1$. Основание у всех множителей одинаковое и равно $x$. Складываем показатели: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
  $x x^2 x^3 x^4 = x^{1+2+3+4} = x^{10}$.
  Ответ: $x^{10}$.

• г) Основание у всех множителей равно $n$. Складываем показатели степеней: $2 + 2 + 2 = 6$.
  $n^2 n^2 n^2 = n^{2+2+2} = n^6$.
  Ответ: $n^6$.

2) Упростите:

• а) Сначала сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя переместительный закон умножения. Затем применим правило сложения показателей.
  $a^2 b^3 a = (a^2 \cdot a) \cdot b^3 = a^{2+1} b^3 = a^3 b^3$.
  Ответ: $a^3 b^3$.

• б) Группируем множители с основанием $x$ и множители с основанием $a$. Затем складываем показатели для каждой группы.
  $x^3 a^2 x a^5 = (x^3 \cdot x) \cdot (a^2 \cdot a^5) = x^{3+1} \cdot a^{2+5} = x^4 a^7$.
  Ответ: $x^4 a^7$ (или $a^7 x^4$).

• в) Группируем множители с одинаковыми основаниями $x$ и $y$ и складываем их показатели.
  $x x^4 y^2 y = (x \cdot x^4) \cdot (y^2 \cdot y) = x^{1+4} \cdot y^{2+1} = x^5 y^3$.
  Ответ: $x^5 y^3$.

• г) Группируем множители с основаниями $a$ и $c$. Помним, что $a = a^1$ и $c = c^1$.
  $a^2 c^4 a c^{10} a c = (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot (c^4 \cdot c^{10} \cdot c) = a^{2+1+1} \cdot c^{4+10+1} = a^4 c^{15}$.
  Ответ: $a^4 c^{15}$.

3) Выполните умножение:

• а) Правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковыми основаниями применяется и для буквенных показателей.
  $a^x a^y = a^{x+y}$.
  Ответ: $a^{x+y}$.

• б) Основание общее — $x$. Складываем показатели $n$ и 5.
  $x^n x^5 = x^{n+5}$.
  Ответ: $x^{n+5}$.

• в) Основание общее — $y$. Складываем показатели 1 (от множителя $y$) и $n$.
  $y y^n = y^{1+n}$.
  Ответ: $y^{1+n}$.

• г) Основание общее — $c$. Складываем показатели $n$ и $n$.
  $c^n c^n = c^{n+n} = c^{2n}$.
  Ответ: $c^{2n}$.