Номер 6.39, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.39 Найдите значение выражения:

а) $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$;

в) $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$;

г) $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$, представим знаменатель $10$ как произведение простых множителей $2 \cdot 5$.
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4} = \frac{5^2 \cdot 2^4}{(2 \cdot 5)^4}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{2^4 \cdot 5^4}$
Сократим одинаковые множители $2^4$ в числителе и знаменателе. Затем применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^2}{5^4} = 5^{2-4} = 5^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$, представим основания $4$ и $6$ в виде произведения простых множителей.
$4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^3 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^7}$
Применим свойства степени: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^6}{2^7} \cdot \frac{3^8}{3^7} = 2^{6-7} \cdot 3^{8-7} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$, разложим основания $27$, $25$ и $15$ на простые множители.
$27 = 3^3$, $25 = 5^2$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим в выражение:
$\frac{(3^3)^3 \cdot (5^2)^5}{(3 \cdot 5)^8}$
Применим свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 5^{2 \cdot 5}}{3^8 \cdot 5^8} = \frac{3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^8}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{9-8} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: $75$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$, представим числа $125$, $49$ и $35$ в виде степеней простых чисел.
$125 = 5^3$, $49 = 7^2$ и $35 = 5 \cdot 7$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(5^3 \cdot 7^2)^3}{(5 \cdot 7)^6}$
Раскроем скобки, используя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(5^3)^3 \cdot (7^2)^3}{5^6 \cdot 7^6} = \frac{5^{3 \cdot 3} \cdot 7^{2 \cdot 3}}{5^6 \cdot 7^6} = \frac{5^9 \cdot 7^6}{5^6 \cdot 7^6}$
Сократим $7^6$ в числителе и знаменателе, а затем применим правило деления степеней для основания $5$:
$\frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125$.
Ответ: $125$.