Номер 6.75, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.75 Многочлен $x^3 - x^2 - x + 1$ представили в виде разности двучленов. Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений.

1) $(x^3 - x^2) - (x + 1)$

2) $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$

3) $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$

4) $(1 - x) - (x^2 - x^3)$

Чтобы найти, какая из предложенных разностей двучленов равна многочлену $x^3 - x^2 - x + 1$, необходимо раскрыть скобки в каждом выражении и сравнить полученный результат с исходным многочленом.

1) Проверим выражение $(x^3 - x^2) - (x + 1)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 - x^2) - (x + 1) = x^3 - x^2 - x - 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x - 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

2) Проверим выражение $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 - x) - (x^2 + 1) = x^3 - x - x^2 - 1$.
Приведем многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней: $x^3 - x^2 - x - 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x - 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

3) Проверим выражение $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$.
Раскрываем скобки: $(x^3 + 1) - (x^2 - x) = x^3 + 1 - x^2 + x$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $x^3 - x^2 + x + 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 + x + 1$ не совпадает с исходным $x^3 - x^2 - x + 1$.
Ответ: неверно.

4) Проверим выражение $(1 - x) - (x^2 - x^3)$.
Раскрываем скобки: $(1 - x) - (x^2 - x^3) = 1 - x - x^2 + x^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $x^3 - x^2 - x + 1$.
Полученный многочлен $x^3 - x^2 - x + 1$ полностью совпадает с исходным.
Ответ: верно.

Таким образом, правильное представление многочлена в виде разности двучленов — это выражение под номером 4.