Номер 6.73, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.73 РАССУЖДАЕМ

Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:

a) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$;

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}$.

а) Чтобы убедиться, что многочлены $x - y - z$ и $y + z - x$ противоположны, найдем их сумму. Два многочлена называются противоположными, если их сумма равна нулю.

$(x - y - z) + (y + z - x) = x - x - y + y - z + z = 0$

Сумма равна нулю, следовательно, многочлены являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при заданных значениях переменных $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$.

Для первого многочлена $x - y - z$:

$0,3 - (-0,2) - (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6$

Для второго многочлена $y + z - x$:

$(-0,2) + (-0,1) - 0,3 = -0,2 - 0,1 - 0,3 = -0,6$

Значения многочленов (0,6 и -0,6) также являются противоположными числами, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: многочлены противоположны; значение первого многочлена равно 0,6, а второго — -0,6.

б) Проверим, являются ли многочлены $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ противоположными, найдя их сумму.

$(x^2 + 2x - 1) + (1 - 2x - x^2) = x^2 - x^2 + 2x - 2x - 1 + 1 = 0$

Сумма равна нулю, значит, многочлены противоположны.

Теперь найдем значение каждого из них при $x = -\frac{1}{3}$.

Для первого многочлена $x^2 + 2x - 1$:

$(-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1 - 6 - 9}{9} = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$

Для второго многочлена $1 - 2x - x^2$:

$1 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 - 1}{9} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$

Значения многочленов ($-1\frac{5}{9}$ и $1\frac{5}{9}$) также являются противоположными числами.

Ответ: многочлены противоположны; значение первого многочлена равно $-1\frac{5}{9}$, а второго — $1\frac{5}{9}$.