Номер 6.76, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.76 Упростите выражение, расположив слагаемые в столбик:

a) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2);$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d);$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1).$

а) Чтобы упростить выражение, раскроем все скобки. Так как между скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются. Затем сгруппируем подобные слагаемые, что соответствует методу сложения в столбик.

$(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2) = p^2 + q^2 - r^2 + q^2 + r^2 - p^2 + r^2 + p^2 - q^2 + r^2 - p^2 - q^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $p^2$: $p^2 - p^2 + p^2 - p^2 = (1-1+1-1)p^2 = 0$.

Для $q^2$: $q^2 + q^2 - q^2 - q^2 = (1+1-1-1)q^2 = 0$.

Для $r^2$: $-r^2 + r^2 + r^2 + r^2 = (-1+1+1+1)r^2 = 2r^2$.

Сумма всех групп слагаемых равна: $0 + 0 + 2r^2 = 2r^2$.

Ответ: $2r^2$

б) Раскроем скобки в выражении. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные.

$(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d) = a - b + c - a + b - d + a - c + d - b + c - d$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $a$: $a - a + a = a$.

Для $b$: $-b + b - b = -b$.

Для $c$: $c - c + c = c$.

Для $d$: $-d + d - d = -d$.

Собрав все упрощенные группы вместе, получаем итоговое выражение: $a - b + c - d$.

Ответ: $a - b + c - d$

в) Раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобками стоит минус.

$(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1) = x + y + z - 1 - x + y - z - 1 + x - y - z + 1 - x + y + z + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Для $x$: $x - x + x - x = 0$.

Для $y$: $y + y - y + y = 2y$.

Для $z$: $z - z - z + z = 0$.

Для констант: $-1 - 1 + 1 + 1 = 0$.

Сумма всех групп равна: $0 + 2y + 0 + 0 = 2y$.

Ответ: $2y$