Номер 6.72, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.72 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны;

б) двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны.

а) двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны;

По определению, два выражения называются противоположными, если их сумма равна нулю. Чтобы доказать, что двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны, найдем их сумму.

Сложим эти два выражения:
$(a - b) + (b - a)$

Раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не меняются:
$a - b + b - a$

Теперь сгруппируем подобные члены, используя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется):
$(a - a) + (-b + b)$

Вычислим значение в каждой из скобок:
$0 + 0 = 0$

Поскольку сумма двучленов $a - b$ и $b - a$ равна нулю, они являются противоположными, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма выражений равна $(a - b) + (b - a) = a - b + b - a = (a - a) + (b - b) = 0$. Так как сумма равна нулю, двучлены являются противоположными.

б) двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны.

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что сумма данных двучленов равна нулю.

Сложим выражения $a + b$ и $-a - b$:
$(a + b) + (-a - b)$

Раскроем скобки:
$a + b - a - b$

Сгруппируем подобные члены:
$(a - a) + (b - b)$

Вычислим результат:
$0 + 0 = 0$

Сумма двучленов $a + b$ и $-a - b$ равна нулю, следовательно, эти выражения являются противоположными. Другой способ это увидеть — вынести знак минус за скобки во втором выражении: $-a - b = -(a + b)$. Это показывает, что второе выражение является противоположным первому.

Ответ: Сумма выражений равна $(a + b) + (-a - b) = a + b - a - b = (a - a) + (b - b) = 0$. Так как сумма равна нулю, двучлены являются противоположными.