Номер 6.74, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.74 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов (проверьте, раскрыв мысленно скобки, правильно ли вы выполнили задание):

а) $a - b - c + d$;

б) $m + n - p + q$.

а) $a - b - c + d$

Задача состоит в том, чтобы сгруппировать четыре члена многочлена в два двучлена. Это можно сделать несколькими способами.

Представление в виде суммы:

Сгруппируем члены попарно и поставим между группами знак «+». Например, сгруппируем $(a - b)$ и $(-c + d)$.

$a - b - c + d = (a - b) + (-c + d)$

Для более удобной записи можно поменять члены во второй скобке местами:

$(a - b) + (d - c)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $a - b + d - c$, что равно исходному многочлену.

Представление в виде разности:

Сгруппируем члены так, чтобы между скобками стоял знак «−». Когда мы выносим знак минус за скобку, знаки всех членов внутри этой скобки меняются на противоположные. Возьмем первую группу $(a - b)$. Чтобы получить оставшиеся члены $-c + d$, мы должны вычесть двучлен $(c - d)$.

$a - b - c + d = (a - b) - (c - d)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $a - b - c - (-d) = a - b - c + d$. Выражение верно.

Ответ: в виде суммы: $(a - b) + (d - c)$; в виде разности: $(a - b) - (c - d)$.

б) $m + n - p + q$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем члены данного многочлена.

Представление в виде суммы:

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$m + n - p + q = (m + n) + (-p + q)$

Поменяв местами члены во второй скобке, получим:

$(m + n) + (q - p)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $m + n + q - p$, что соответствует исходному многочлену.

Представление в виде разности:

Возьмем первую группу $(m + n)$. Чтобы из нее получить исходный многочлен, нужно вычесть такой двучлен, который при раскрытии скобок даст $-p + q$. Этим двучленом является $(p - q)$.

$m + n - p + q = (m + n) - (p - q)$

Мысленная проверка: раскрывая скобки, получаем $m + n - p - (-q) = m + n - p + q$. Выражение верно.

Ответ: в виде суммы: $(m + n) + (q - p)$; в виде разности: $(m + n) - (p - q)$.