Номер 6, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения в степень дроби

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно ее числитель и знаменатель, и первый результат записать в числитель новой дроби, а второй — в ее знаменатель.
В виде формулы это правило для любых чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$) и любого натурального числа $n$ можно записать так:
$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

Проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби

Возьмем дробь $ \frac{3}{4} $ и возведем ее во вторую степень (в квадрат).
Согласно правилу, мы должны возвести в квадрат числитель и знаменатель по отдельности:
$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $
Этот же результат можно получить, если воспользоваться определением степени и умножить дробь саму на себя:
$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16} $
Совпадение результатов наглядно иллюстрирует справедливость правила.

Ответ: Например, $ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $.

Докажите соответствующее свойство степени

Докажем, что для любых чисел $a$ и $b$ (при $b \neq 0$) и любого натурального числа $n$ справедливо равенство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $.
1. По определению степени с натуральным показателем, выражение $ (\frac{a}{b})^n $ представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен дроби $ \frac{a}{b} $:
$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} $
2. Согласно правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
$ \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} $
3. Произведение $n$ множителей, равных $a$, по определению степени есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, равных $b$, есть $b^n$. Таким образом, мы получаем:
$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n} $
4. Сопоставляя начало и конец цепочки равенств, приходим к выводу, что $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство основано на определении степени как многократного умножения и правиле умножения дробей: $ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n} = \frac{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n}} = \frac{a^n}{b^n} $.