Номер 9, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 На примере многочлена $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо последовательно выполнить два действия: привести каждый член многочлена к стандартному виду и затем привести подобные члены (слагаемые).

Рассмотрим данный в задаче многочлен: $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$.

Шаг 1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду.

Одночлен (член многочлена) считается записанным в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Проанализируем каждый член нашего многочлена:

Члены $5xy^2$, $-x^2y$ и $7x^2y$ уже находятся в стандартном виде.

Член $-2xy \cdot 3y$ не в стандартном виде, поскольку в нем есть два числовых множителя ($-2$ и $3$) и переменная $y$ встречается дважды. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно перемножить числовые множители и сгруппировать одинаковые переменные:

$-2xy \cdot 3y = (-2 \cdot 3) \cdot x \cdot (y \cdot y) = -6xy^2$.

Теперь многочлен можно переписать, заменив член $-2xy \cdot 3y$ его стандартным видом:

$5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$.

Шаг 2. Приведение подобных членов.

Подобными членами называются члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. В полученном многочлене $5xy^2 - x^2y - 6xy^2 + 7x^2y$ найдем и сгруппируем подобные члены.

Первая группа подобных членов имеет буквенную часть $x^2y$: это $-x^2y$ и $7x^2y$.

Вторая группа подобных членов имеет буквенную часть $xy^2$: это $5xy^2$ и $-6xy^2$.

Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Для первой группы: $-x^2y + 7x^2y = (-1 + 7)x^2y = 6x^2y$.

Для второй группы: $5xy^2 - 6xy^2 = (5 - 6)xy^2 = -1xy^2 = -xy^2$.

Шаг 3. Запись итогового многочлена стандартного вида.

Многочлен стандартного вида — это сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Запишем полученные на предыдущем шаге результаты в виде одного многочлена. Обычно члены многочлена стандартного вида располагают в порядке убывания их степеней. Степень каждого из наших членов ($6x^2y$ и $-xy^2$) равна $3$, поэтому их можно расположить в любом порядке. Традиционно их располагают в лексикографическом порядке (по алфавиту).

Итоговый многочлен в стандартном виде: $6x^2y - xy^2$.

Ответ: Процесс приведения многочлена к стандартному виду заключается в приведении каждого его члена к стандартному виду и последующем сложении подобных членов. В результате многочлен $5xy^2 - x^2y - 2xy \cdot 3y + 7x^2y$ приводится к стандартному виду $6x^2y - xy^2$.