Номер 6.198, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.9. Деление с остатком (Узнайте больше). Глава 6. Многочлены - номер 6.198, страница 184.

Условие.

6.198 a) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Пусть $n$ — целое число, которое не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 число $n$ даёт остаток 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим все возможные случаи.

Любое целое число $n$, не кратное 5, можно представить в одном из следующих видов: $n = 5k \pm 1$ или $n = 5k \pm 2$, где $k$ — некоторое целое число.

1. Если $n = 5k \pm 1$.
Возведём число $n$ в квадрат:
$n^2 = (5k \pm 1)^2 = (5k)^2 \pm 2 \cdot 5k \cdot 1 + 1^2 = 25k^2 \pm 10k + 1$.
Вынесем 5 за скобки:
$n^2 = 5(5k^2 \pm 2k) + 1$.
Из этого выражения видно, что $n^2$ при делении на 5 даёт в остатке 1. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 5 нацело:
$n^2 - 1 = 5(5k^2 \pm 2k)$.
В этом случае квадрат числа, уменьшенный на 1, делится на 5.

2. Если $n = 5k \pm 2$.
Возведём число $n$ в квадрат:
$n^2 = (5k \pm 2)^2 = (5k)^2 \pm 2 \cdot 5k \cdot 2 + 2^2 = 25k^2 \pm 20k + 4$.
Вынесем 5 за скобки:
$n^2 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4$.
Из этого выражения видно, что $n^2$ при делении на 5 даёт в остатке 4. Следовательно, если к $n^2$ прибавить 1, то полученное число будет делиться на 5 нацело:
$n^2 + 1 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4 + 1 = 5(5k^2 \pm 4k) + 5 = 5(5k^2 \pm 4k + 1)$.
В этом случае квадрат числа, увеличенный на 1, делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для числа, не делящегося на 5, и в каждом из них либо $n^2-1$, либо $n^2+1$ делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть $n$ — любое нечётное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Найдём квадрат этого числа:
$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Вынесем общий множитель 4k за скобки:
$n^2 = 4k(k+1) + 1$.

Рассмотрим произведение $k(k+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел ($k$ или $k+1$) обязательно является чётным. Следовательно, их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2.

Значит, мы можем представить это произведение в виде $k(k+1) = 2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение обратно в формулу для $n^2$:
$n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$.

Полученное выражение $8m + 1$ показывает, что при делении квадрата любого нечётного числа на 8 в остатке всегда получается 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.