Номер 14, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

14 Найдите значение выражения $ \frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} $

1) $ \frac{1}{24} $

2) $ 2\frac{1}{4} $

3) $ 1\frac{1}{2} $

4) $ 1296 $

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо упростить его, используя свойства степеней. Сначала разложим основания степеней (8, 9 и 6) на простые множители.

Исходное выражение: $\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8}$.

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:
$\frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для знаменателя:
$\frac{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8}$

Далее сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^6}{2^8} \cdot \frac{3^{10}}{3^8} = 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и вычислим результат:
$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Данное значение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $2\frac{1}{4}$