Номер 16, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

16 Какое из следующих неравенств неверно?

1) $9^{10} < 3^{21}$

2) $9^{10} < 5^{20}$

3) $6^{10} < 3^{20}$

4) $6^{10} < 2^{20}$

Для того чтобы найти неверное неравенство, необходимо проверить истинность каждого из предложенных вариантов, приводя степени к общему основанию или общему показателю.

1) $9^{10} < 3^{21}$

Чтобы сравнить эти два числа, приведем их к одному основанию — 3.
Известно, что $9 = 3^2$.
Следовательно, левую часть неравенства можно преобразовать: $9^{10} = (3^2)^{10}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20}$.
Теперь сравним $3^{20}$ и $3^{21}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, то чем больше показатель, тем больше значение степени.
Так как $20 < 21$, то $3^{20} < 3^{21}$.
Таким образом, исходное неравенство $9^{10} < 3^{21}$ является верным.
Ответ: верно.

2) $9^{10} < 5^{20}$

Приведем степени к одному показателю. Показатель правой части $20 = 2 \cdot 10$.
Преобразуем правую часть: $5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$.
Теперь неравенство принимает вид: $9^{10} < 25^{10}$.
Поскольку показатели степеней равны (10), а основания — положительные числа, то сравнение сводится к сравнению оснований.
Так как $9 < 25$, то и $9^{10} < 25^{10}$.
Следовательно, неравенство $9^{10} < 5^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

3) $6^{10} < 3^{20}$

Снова приведем степени к общему показателю 10.
Преобразуем правую часть: $3^{20} = 3^{2 \cdot 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$.
Неравенство принимает вид: $6^{10} < 9^{10}$.
Так как показатели степеней одинаковы, сравниваем основания.
Поскольку $6 < 9$, то $6^{10} < 9^{10}$.
Следовательно, неравенство $6^{10} < 3^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

4) $6^{10} < 2^{20}$

Приведем степени к общему показателю 10.
Преобразуем правую часть: $2^{20} = 2^{2 \cdot 10} = (2^2)^{10} = 4^{10}$.
Неравенство принимает вид: $6^{10} < 4^{10}$.
Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $6 > 4$, то должно выполняться неравенство $6^{10} > 4^{10}$.
Следовательно, данное неравенство $6^{10} < 4^{10}$ (а значит и $6^{10} < 2^{20}$) является неверным.
Ответ: неверно.

Проанализировав все варианты, мы выяснили, что неверным является только четвертое неравенство.

Ответ: 4