Номер 7.35, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.35 a) $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z);$

б) $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a).$

а) $xy(x - y) - xz(y - z) - xz(x - y) + yz(y - z)$

Для решения сгруппируем слагаемые. Первое слагаемое сгруппируем с третьим, а второе с четвертым, так как у них есть общие множители в скобках.

$(xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$, а во второй — $(y - z)$:

$(xy - xz)(x - y) + (yz - xz)(y - z)$

Теперь из первой скобки $(xy - xz)$ вынесем общий множитель $x$, а из второй $(yz - xz)$ вынесем общий множитель $z$:

$x(y - z)(x - y) + z(y - x)(y - z)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$. Подставим это в выражение:

$x(y - z)(x - y) - z(x - y)(y - z)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x - y)(y - z)$, который мы можем вынести за скобки:

$(x - y)(y - z)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$

б) $(a - x)(x - y)(y + x + a) - (y - x)(x - a)(y - x - a)$

Преобразуем множители во втором слагаемом, чтобы они совпали с множителями в первом. Используем тождества $(y - x) = -(x - y)$ и $(x - a) = -(a - x)$.

Второе слагаемое: $-(y - x)(x - a)(y - x - a) = -(-(x - y))(-(a - x))(y - x - a) = - (1) \cdot (x - y)(a - x)(y - x - a)$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$(a - x)(x - y)(y + x + a) - (a - x)(x - y)(y - x - a)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a - x)(x - y)$ за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot [(y + x + a) - (y - x - a)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot (y + x + a - y + x + a)$

Приведем подобные слагаемые в последней скобке:

$(a - x)(x - y) \cdot (2x + 2a)$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot 2(x + a)$

Перегруппируем множители и применим формулу разности квадратов $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$:

$2(a - x)(a + x)(x - y) = 2(a^2 - x^2)(x - y)$

Ответ: $2(a^2 - x^2)(x - y)$