Номер 7.31, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.31 РАССУЖДАЕМ

Запишите вместо многоточия такое слагаемое, чтобы многочлен можно было разложить на множители:

а) $ax + bx + ca ...;$

б) $n^3 - 2n^2 + n ...;$

в) $m^2n - m - mn ...;$

г) $mc + c - mb ... .$

а) Исходный многочлен: $ax + bx + ca + ...$.

Чтобы разложить многочлен на множители, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ax + bx = x(a+b)$

Теперь многочлен имеет вид: $x(a+b) + ca + ...$.

Чтобы можно было продолжить разложение, вторая группа слагаемых $(ca + ...)$ также должна содержать множитель $(a+b)$. Предположим, что из второй группы можно вынести за скобки общий множитель $c$. Тогда в скобках должно остаться $(a+b)$:

$c(a+b) = ca + cb$

Следовательно, недостающее слагаемое — это $cb$.

Проверим. Подставим $cb$ вместо многоточия:

$ax + bx + ca + cb = (ax + bx) + (ca + cb) = x(a+b) + c(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)(x+c)$

Многочлен успешно разложен на множители. Недостающее слагаемое — $cb$.

Ответ: $cb$.

б) Исходный многочлен: $n^3 - 2n^2 + n + ...$.

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $n^2$ за скобки:

$n^3 - 2n^2 = n^2(n-2)$

Многочлен принимает вид: $n^2(n-2) + n + ...$.

Вторая группа слагаемых $(n + ...)$ должна содержать множитель $(n-2)$. Чтобы получить выражение $(n-2)$, к слагаемому $n$ нужно добавить $-2$.

Таким образом, недостающее слагаемое — это $-2$.

Проверим. Подставим $-2$ вместо многоточия:

$n^3 - 2n^2 + n - 2 = (n^3 - 2n^2) + (n - 2) = n^2(n-2) + 1(n-2)$

Вынесем общий множитель $(n-2)$ за скобки:

$(n-2)(n^2+1)$

Многочлен успешно разложен на множители. Недостающее слагаемое — $-2$.

Ответ: $-2$.

в) Исходный многочлен: $m^2n - m - mn + ...$.

Для удобства группировки переставим слагаемые: $m^2n - mn - m + ...$.

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $mn$ за скобки:

$m^2n - mn = mn(m-1)$

Многочлен принимает вид: $mn(m-1) - m + ...$.

Вторая группа слагаемых $(-m + ...)$ должна содержать множитель $(m-1)$. Для этого вынесем $-1$ за скобки. Чтобы в скобках получилось $(m-1)$, выражение должно быть $-1(m-1) = -m + 1$.

Следовательно, недостающее слагаемое — это $1$.

Проверим. Подставим $1$ вместо многоточия в переупорядоченный многочлен:

$m^2n - mn - m + 1 = (m^2n - mn) + (-m + 1) = mn(m-1) - 1(m-1)$

Вынесем общий множитель $(m-1)$ за скобки:

$(m-1)(mn-1)$

Многочлен успешно разложен на множители. Недостающее слагаемое — $1$.

Ответ: $1$.

г) Исходный многочлен: $mc + c - mb + ...$.

Воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые:

$mc + c = c(m+1)$

Многочлен принимает вид: $c(m+1) - mb + ...$.

Вторая группа слагаемых $(-mb + ...)$ должна содержать множитель $(m+1)$. Вынесем за скобки множитель $-b$. Чтобы в скобках получилось $(m+1)$, выражение должно быть $-b(m+1) = -mb - b$.

Следовательно, недостающее слагаемое — это $-b$.

Проверим. Подставим $-b$ вместо многоточия:

$mc + c - mb - b = (mc + c) + (-mb - b) = c(m+1) - b(m+1)$

Вынесем общий множитель $(m+1)$ за скобки:

$(m+1)(c-b)$

Многочлен успешно разложен на множители. Недостающее слагаемое — $-b$.

Ответ: $-b$.