Номер 7.36, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Способ группировки. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.36, страница 197.

Условие.

7.36 Разложите на множители трёхчлен:

а) $a^2 + 5ab + 4b^2$;

в) $b^2 + 5b + 6$;

б) $c^2 - 4cb + 3b^2$;

г) $c^2 - 7c + 12$.

Образец. Разложим на множители многочлен

$2x^2 + 5xy + 2y^2$.

Чтобы применить группировку, разобьём слагаемое $5xy$ на два одночлена: $xy$ и $4xy$. Получим

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = 2x^2 + xy + 4xy + 2y^2 = x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(x + 2y)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 + 5ab + 4b^2$, воспользуемся методом группировки, который показан в образце. Для этого представим средний член $5ab$ в виде суммы двух слагаемых. Нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $ab$, то есть 5, а произведение равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$, то есть $1 \cdot 4 = 4$. Такими числами являются 1 и 4.
Разобьём $5ab$ на $ab$ и $4ab$:
$a^2 + 5ab + 4b^2 = a^2 + ab + 4ab + 4b^2$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^2 + ab) + (4ab + 4b^2) = a(a+b) + 4b(a+b)$
Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$(a+b)(a+4b)$
Ответ: $(a+b)(a+4b)$

б) Разложим на множители трёхчлен $c^2 - 4cb + 3b^2$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно $1 \cdot 3 = 3$. Эти числа -1 и -3.
Представим средний член $-4cb$ в виде суммы $-cb$ и $-3cb$:
$c^2 - 4cb + 3b^2 = c^2 - cb - 3cb + 3b^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^2 - cb) + (-3cb + 3b^2) = c(c-b) - 3b(c-b)$
Вынесем общий множитель $(c-b)$:
$(c-b)(c-3b)$
Ответ: $(c-b)(c-3b)$

в) Разложим на множители трёхчлен $b^2 + 5b + 6$. В данном случае это приведённый квадратный трёхчлен. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3.
Представим средний член $5b$ как сумму $2b$ и $3b$:
$b^2 + 5b + 6 = b^2 + 2b + 3b + 6$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(b^2 + 2b) + (3b + 6) = b(b+2) + 3(b+2)$
Вынесем общий множитель $(b+2)$:
$(b+2)(b+3)$
Ответ: $(b+2)(b+3)$

г) Разложим на множители трёхчлен $c^2 - 7c + 12$. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12. Этими числами являются -3 и -4.
Представим средний член $-7c$ как сумму $-3c$ и $-4c$:
$c^2 - 7c + 12 = c^2 - 3c - 4c + 12$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(c^2 - 3c) + (-4c + 12) = c(c-3) - 4(c-3)$
Вынесем общий множитель $(c-3)$:
$(c-3)(c-4)$
Ответ: $(c-3)(c-4)$