Номер 7.34, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Способ группировки. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.34, страница 197.

Условие.

Разложите на множители (7.34–7.35).

7.34 а) $ax - a + bx - b + cx - c;$

б) $ax + bx - ay - by + az + bz;$

в) $ax - bx - x + ay - by - y;$

г) $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c;$

д) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5;$

е) $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2.$

Подсказка. Можно группировать как по два, так и по три слагаемых.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для разложения на множители выражения $ax - a + bx - b + cx - c$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно таким образом, чтобы в каждой группе был общий множитель:
$(ax - a) + (bx - b) + (cx - c)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a(x - 1) + b(x - 1) + c(x - 1)$
Как мы видим, теперь у всех трех слагаемых есть общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 1)(a + b + c)$
Ответ: $(a + b + c)(x - 1)$

б) В выражении $ax + bx - ay - by + az + bz$ также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно:
$(ax + bx) - (ay + by) + (az + bz)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)$
Общим множителем для всех трех получившихся слагаемых является $(a + b)$. Вынесем его за скобки:
$(a + b)(x - y + z)$
Ответ: $(a + b)(x - y + z)$

в) Рассмотрим выражение $ax - bx - x + ay - by - y$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(ax + ay) - (bx + by) - (x + y)$
Вынесем общие множители из первых двух групп:
$a(x + y) - b(x + y) - 1(x + y)$
Теперь общим множителем является $(x + y)$. Вынесем его за скобки:
$(x + y)(a - b - 1)$
Ответ: $(x + y)(a - b - 1)$

г) Для выражения $2a^2 - a + 2ab - b - 2ac + c$ сгруппируем слагаемые по три. Объединим слагаемые, содержащие $2a$, и остальные:
$(2a^2 + 2ab - 2ac) + (-a - b + c)$
Вынесем общий множитель из каждой группы: $2a$ из первой и $-1$ из второй.
$2a(a + b - c) - 1(a + b - c)$
Общий множитель $(a + b - c)$ выносим за скобки:
$(a + b - c)(2a - 1)$
Ответ: $(2a - 1)(a + b - c)$

д) В выражении $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5$ сгруппируем слагаемые попарно:
$(a^5 - a^4b) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^4(a - b) + a^2b^2(a - b) + b^4(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$
Выражение в скобках $(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ можно разложить дальше. Дополним его до полного квадрата, прибавив и отняв $a^2b^2$:
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:
$(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)$
Окончательный результат:
$(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$
Ответ: $(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) В выражении $px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2$ для разложения на множители необходимо правильно сгруппировать слагаемые. Переставим их и сгруппируем по три:
$(px^2 + qx) + (pqxy + q^2y) + (p^2qx + pq^2)$
Теперь вынесем общие множители из каждой скобки:
$x(px + q) + qy(px + q) + pq(px + q)$
Общим множителем для всех трех слагаемых является $(px + q)$. Вынесем его за скобки:
$(px + q)(x + qy + pq)$
Ответ: $(px + q)(x + qy + pq)$