Номер 8.20, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 8. Системы уравнений. 8.2. Уравнение прямой вида у = kx + l. Упражнения - номер 8.20, страница 225.

Условие.

8.20 Прямые заданы уравнениями:

$y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = \frac{1}{2}x - 4$, $y = \frac{1}{2}x$.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось $y$?

4) Постройте эти прямые.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

Уравнение прямой в общем виде с угловым коэффициентом выглядит так: $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $b$ – свободный член (показывает точку пересечения с осью $y$).

Рассмотрим каждое из заданных уравнений:

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$: сравнивая с общей формой, видим, что угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$: угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x$: это уравнение можно записать как $y = \frac{1}{2}x + 0$, следовательно, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Таким образом, у всех трех прямых одинаковый угловой коэффициент.

Ответ: Угловой коэффициент каждой прямой равен $\frac{1}{2}$.

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

Взаимное расположение прямых на плоскости определяется их угловыми коэффициентами.

Если угловые коэффициенты двух прямых ($k_1$ и $k_2$) равны ($k_1 = k_2$), а их свободные члены ($b_1$ и $b_2$) различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.

В нашем случае, как мы выяснили в предыдущем пункте, все три прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

При этом их свободные члены различны: $b_1 = 1$, $b_2 = -4$ и $b_3 = 0$.

Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, все три прямые параллельны друг другу.

Ответ: Прямые параллельны друг другу.

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось $y$ в точке, где координата $x$ равна нулю. В уравнении вида $y = kx + b$ точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, b)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$: свободный член $b=1$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 1)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$: свободный член $b=-4$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, -4)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x$: свободный член $b=0$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 0)$, то есть начало координат.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$; прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$; прямая $y = \frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$.

4) Постройте эти прямые.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Одну точку для каждой прямой мы уже знаем – это точка пересечения с осью $y$. Найдем вторую точку для каждой прямой, выбрав удобное значение $x$, например, $x=4$.

1. Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ (синяя линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, 1)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$. Координаты второй точки: $(4, 3)$.

2. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ (красная линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, -4)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 = 2 - 4 = -2$. Координаты второй точки: $(4, -2)$.

3. Прямая $y = \frac{1}{2}x$ (зеленая линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, 0)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Координаты второй точки: $(4, 2)$.

Ниже представлен график с построенными прямыми.

Ответ: График, на котором построены три параллельные прямые, представлен выше.