Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.28 Является ли пара чисел (2; 8) решением системы уравнений:

а) $ \begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 7x - 2y = -2 \\ y - x = 6 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x - 3y = 2 \\ 3x - 5y = 14 \end{cases} $?

Для того чтобы определить, является ли пара чисел $(2; 8)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=8$ в каждое из уравнений системы. Если оба уравнения при такой подстановке превращаются в верные числовые равенства, то данная пара чисел является решением. Если хотя бы одно из уравнений не выполняется, то пара не является решением.

а) Проверим систему $ \begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6 \end{cases} $
Подставляем $x=2$ и $y=8$ в оба уравнения:
1) Первое уравнение: $10 \cdot 2 - 8 = 20 - 8 = 12$. Получаем $12=12$. Это верное равенство.
2) Второе уравнение: $2 - 8 = -6$. Получаем $-6=6$. Это неверное равенство.
Так как второе уравнение не выполняется, пара чисел $(2; 8)$ не является решением этой системы.
Ответ: не является.

б) Проверим систему $ \begin{cases} 7x - 2y = -2 \\ y - x = 6 \end{cases} $
Подставляем $x=2$ и $y=8$ в оба уравнения:
1) Первое уравнение: $7 \cdot 2 - 2 \cdot 8 = 14 - 16 = -2$. Получаем $-2=-2$. Это верное равенство.
2) Второе уравнение: $8 - 2 = 6$. Получаем $6=6$. Это верное равенство.
Так как оба уравнения выполняются, пара чисел $(2; 8)$ является решением этой системы.
Ответ: является.

в) Проверим систему $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18 \end{cases} $
Подставляем $x=2$ и $y=8$ в оба уравнения:
1) Первое уравнение: $3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$. Получаем $14=14$. Это верное равенство.
2) Второе уравнение: $2 + 2 \cdot 8 = 2 + 16 = 18$. Получаем $18=18$. Это верное равенство.
Так как оба уравнения выполняются, пара чисел $(2; 8)$ является решением этой системы.
Ответ: является.

г) Проверим систему $ \begin{cases} x - 3y = 2 \\ 3x - 5y = 14 \end{cases} $
Подставляем $x=2$ и $y=8$ в оба уравнения:
1) Первое уравнение: $2 - 3 \cdot 8 = 2 - 24 = -22$. Получаем $-22=2$. Это неверное равенство.
Поскольку уже первое уравнение не выполняется, нет необходимости проверять второе. Пара чисел $(2; 8)$ не является решением этой системы.
Ответ: не является.

8.29 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 15, \\ x - y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 3y = 18, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x - 2y = 0,1, \\ -5x - 4y = 0,5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x + y = 5,4, \\ x + y = 6,4; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y = -25, \\ 3x + 2y = -5; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ 5x - 3y = 11. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 15, \\ x - y = 9. \end{cases} $
Это классический случай для решения методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 9$
$2x = 24$
$x = 12$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$12 + y = 15$
$y = 15 - 12$
$y = 3$
Ответ: $x=12, y=3$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 3y = 18, \\ 2x - 3y = 3. \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому применим метод сложения:
$(x + 3y) + (2x - 3y) = 18 + 3$
$3x = 21$
$x = 7$
Подставим значение $x=7$ в первое уравнение:
$7 + 3y = 18$
$3y = 18 - 7$
$3y = 11$
$y = \frac{11}{3}$
Ответ: $x=7, y=\frac{11}{3}$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 2y = 0,1, \\ -5x - 4y = 0,5. \end{cases} $
Коэффициенты при $x$ противоположны, поэтому сложим уравнения:
$(5x - 2y) + (-5x - 4y) = 0,1 + 0,5$
$-6y = 0,6$
$y = -0,1$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:
$5x - 2(-0,1) = 0,1$
$5x + 0,2 = 0,1$
$5x = 0,1 - 0,2$
$5x = -0,1$
$x = -0,02$
Ответ: $x=-0,02, y=-0,1$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 5,4, \\ x + y = 6,4. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ одинаковы, поэтому используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(2x + y) - (x + y) = 5,4 - 6,4$
$x = -1$
Подставим $x=-1$ во второе уравнение:
$-1 + y = 6,4$
$y = 6,4 + 1$
$y = 7,4$
Ответ: $x=-1, y=7,4$.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = -25, \\ 3x + 2y = -5. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ одинаковы, поэтому вычтем первое уравнение из второго:
$(3x + 2y) - (x + 2y) = -5 - (-25)$
$2x = 20$
$x = 10$
Подставим $x=10$ в первое уравнение:
$10 + 2y = -25$
$2y = -25 - 10$
$2y = -35$
$y = -17,5$
Ответ: $x=10, y=-17,5$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ 5x - 3y = 11. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ равны, поэтому применим метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(5x - 3y) - (2x - 3y) = 11 - 5$
$3x = 6$
$x = 2$
Подставим $x=2$ в первое уравнение:
$2(2) - 3y = 5$
$4 - 3y = 5$
$-3y = 5 - 4$
$-3y = 1$
$y = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x=2, y=-\frac{1}{3}$.

8.30 Решите систему уравнений двумя способами, исключив в первом случае одну переменную, а во втором — другую:

а) $\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$ б) $\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$ в) $\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Подсказка. а) Способ 1: умножьте первое уравнение системы на -3 и решите систему. Способ 2: умножьте первое уравнение системы на 2 и решите систему.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную x (согласно подсказке)

Чтобы исключить переменную $x$, нужно сделать коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях противоположными по знаку. Умножим первое уравнение на $-3$.

$-3 \cdot (3x - 2y) = -3 \cdot 10 \implies -9x + 6y = -30$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} -9x + 6y = -30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(-9x + 6y) + (9x + 4y) = -30 + 40$

$10y = 10$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$3x - 2(1) = 10$

$3x - 2 = 10$

$3x = 12$

$x = 4$

Способ 2: исключаем переменную y (согласно подсказке)

Чтобы исключить переменную $y$, нужно сделать коэффициенты при $y$ противоположными. Умножим первое уравнение на $2$.

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 10 \implies 6x - 4y = 20$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 6x - 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим почленно уравнения:

$(6x - 4y) + (9x + 4y) = 20 + 40$

$15x = 60$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(4) - 2y = 10$

$12 - 2y = 10$

$-2y = 10 - 12$

$-2y = -2$

$y = 1$

Ответ: $(4; 1)$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную a

Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными.

$-3(a + b) = -3 \cdot 5 \implies -3a - 3b = -15$

Система примет вид:

$\begin{cases} -3a - 3b = -15 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -15 + (-1)$

$-8b = -16$

$b = 2$

Подставим $b=2$ в первое исходное уравнение ($a+b=5$):

$a + 2 = 5$

$a = 3$

Способ 2: исключаем переменную b

Умножим первое уравнение на $5$, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными.

$5(a + b) = 5 \cdot 5 \implies 5a + 5b = 25$

Система примет вид:

$\begin{cases} 5a + 5b = 25 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(5a + 5b) + (3a - 5b) = 25 + (-1)$

$8a = 24$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое исходное уравнение ($a+b=5$):

$3 + b = 5$

$b = 2$

Ответ: $(3; 2)$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную p

Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными.

$-3(p - 4q) = -3 \cdot 2 \implies -3p + 12q = -6$

Система примет вид:

$\begin{cases} -3p + 12q = -6 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(-3p + 12q) + (3p - 2q) = -6 + 16$

$10q = 10$

$q = 1$

Подставим $q=1$ в первое исходное уравнение ($p - 4q = 2$):

$p - 4(1) = 2$

$p - 4 = 2$

$p = 6$

Способ 2: исключаем переменную q

Чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными, умножим второе уравнение на $-2$. Коэффициент при $q$ во втором уравнении станет $(-2) \cdot (-2) = 4$, что является противоположностью коэффициенту $-4$ в первом уравнении.

$-2(3p - 2q) = -2 \cdot 16 \implies -6p + 4q = -32$

Система примет вид:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ -6p + 4q = -32 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(p - 4q) + (-6p + 4q) = 2 + (-32)$

$p - 6p = -30$

$-5p = -30$

$p = 6$

Подставим $p=6$ в первое исходное уравнение ($p - 4q = 2$):

$6 - 4q = 2$

$-4q = 2 - 6$

$-4q = -4$

$q = 1$

Ответ: $(6; 1)$

8.31 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases}2x - 5y = 0; \\6x + y = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}5x + y = 30, \\3x - 4y = 41;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3a - 2b = 5, \\a - 4b = 6.\end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 0 \\ 6x + y = 0 \end{cases} $
Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = -6x$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - 5(-6x) = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$2x + 30x = 0$
$32x = 0$
$x = 0$
Подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = -6 \cdot 0 = 0$
Ответ: (0; 0).

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x + y = 30 \\ 3x - 4y = 41 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 30 - 5x$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$3x - 4(30 - 5x) = 41$
Раскроем скобки:
$3x - 120 + 20x = 41$
Приведем подобные слагаемые:
$23x = 41 + 120$
$23x = 161$
$x = \frac{161}{23} = 7$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$:
$y = 30 - 5 \cdot 7 = 30 - 35 = -5$
Ответ: (7; -5).

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3a - 2b = 5 \\ a - 4b = 6 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Выразим $a$ из второго уравнения:
$a = 6 + 4b$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(6 + 4b) - 2b = 5$
Раскроем скобки:
$18 + 12b - 2b = 5$
Приведем подобные слагаемые:
$10b = 5 - 18$
$10b = -13$
$b = -\frac{13}{10} = -1.3$
Теперь найдем $a$, подставив найденное значение $b$:
$a = 6 + 4(-1.3) = 6 - 5.2 = 0.8$
Ответ: a = 0.8; b = -1.3.

8.32 Составьте систему уравнений по условию задачи:

а) Дима на выполнение домашней работы по истории затратил на 20 мин больше, чем по географии. Всего на эти два предмета он затратил 50 мин. Сколько времени потребовалось на каждый предмет?

б) Скорость лодки по течению реки 18 км/ч, а против течения 15 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

а) Пусть $x$ мин — время, которое Дима затратил на домашнюю работу по истории, а $y$ мин — время, которое он затратил на географию.
По условию задачи, на историю было потрачено на 20 минут больше, чем на географию. Это можно записать уравнением: $x - y = 20$.
Всего на два предмета ушло 50 минут, что дает второе уравнение: $x + y = 50$.
Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 20 \\ x + y = 50 \end{cases} $
Для решения системы сложим два уравнения почленно:
$(x - y) + (x + y) = 20 + 50$
$2x = 70$
$x = 35$
Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$35 + y = 50$
$y = 50 - 35$
$y = 15$
Следовательно, на выполнение домашней работы по истории потребовалось 35 минут, а по географии — 15 минут.
Ответ: на историю потребовалось 35 минут, на географию — 15 минут.

б) Пусть $v_{л}$ км/ч — собственная скорость лодки, а $v_{р}$ км/ч — скорость течения реки.
Скорость лодки по течению реки — это сумма собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{л} + v_{р}$. По условию она равна 18 км/ч. Получаем первое уравнение: $v_{л} + v_{р} = 18$.
Скорость лодки против течения реки — это разность собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{л} - v_{р}$. По условию она равна 15 км/ч. Получаем второе уравнение: $v_{л} - v_{р} = 15$.
Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} v_{л} + v_{р} = 18 \\ v_{л} - v_{р} = 15 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы найти собственную скорость лодки $v_{л}$:
$(v_{л} + v_{р}) + (v_{л} - v_{р}) = 18 + 15$
$2v_{л} = 33$
$v_{л} = 16.5$
Теперь подставим найденное значение $v_{л}$ в первое уравнение, чтобы найти скорость течения $v_{р}$:
$16.5 + v_{р} = 18$
$v_{р} = 18 - 16.5$
$v_{р} = 1.5$
Следовательно, собственная скорость лодки составляет 16,5 км/ч, а скорость течения реки — 1,5 км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, скорость течения реки — 1,5 км/ч.