Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.38 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x + y = 1; \end{cases}$

b) $\begin{cases} y - x = 5, \\ 2y - 2x = 10; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x - 3y = 6, \\ 3x - 9y = -9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + y = 1, \\ 6x + 2y = 12; \end{cases}$

e) $\begin{cases} 4x + 2y = 2, \\ x + 0,5y = 0,5. \end{cases}$

В каждом случае проиллюстрируйте ваш вывод графически.

а) $ \begin{cases} x+y=3, \\ x+y=1; \end{cases} $

Данная система уравнений не имеет решений. Левые части обоих уравнений идентичны ($x+y$), в то время как правые части различны (3 и 1). Если предположить, что решение существует, то одно и то же выражение $x+y$ должно быть одновременно равно и 3, и 1, что невозможно. Если вычесть второе уравнение из первого, мы получим: $(x+y) - (x+y) = 3 - 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$.

Геометрически каждое линейное уравнение представляет собой прямую на плоскости. Приведем уравнения к виду $y = kx+b$:
1. $y = -x + 3$
2. $y = -x + 1$
Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = -1$, но разные точки пересечения с осью ординат ($b_1=3$ и $b_2=1$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются. Отсутствие точек пересечения и означает отсутствие решений у системы.

Ответ: система не имеет решений.

б) $ \begin{cases} x-2y=4, \\ x-2y=0; \end{cases} $

Эта система, как и предыдущая, не имеет решений. Левые части уравнений ($x-2y$) одинаковы, а правые (4 и 0) — различны. Это противоречие. Вычитание второго уравнения из первого дает $0 = 4$, что является ложным равенством.

Графически это снова две параллельные прямые. Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения:
1. $2y = x - 4 \implies y = 0.5x - 2$
2. $2y = x \implies y = 0.5x$
Угловые коэффициенты равны $k=0.5$, а свободные члены нет ($b_1=-2$ и $b_2=0$). Прямые параллельны, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: система не имеет решений.

в) $ \begin{cases} y-x=5, \\ 2y-2x=10; \end{cases} $

Данная система имеет бесчисленное множество решений. Если мы разделим второе уравнение на 2, то получим: $(2y-2x)/2 = 10/2$, что дает $y-x=5$. Это уравнение в точности совпадает с первым. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же зависимость между $x$ и $y$.

Геометрически оба уравнения представляют одну и ту же прямую $y = x+5$. Поскольку прямые совпадают, любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы.
Примеры решений:

• Если $x=0$, то $y=0+5=5$. Решение: $(0, 5)$.
• Если $x=1$, то $y=1+5=6$. Решение: $(1, 6)$.
• Если $x=-5$, то $y=-5+5=0$. Решение: $(-5, 0)$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений, например, (0, 5), (1, 6).

г) $ \begin{cases} 3x+y=1, \\ 6x+2y=12; \end{cases} $

Система не имеет решений. Разделим второе уравнение на 2: $(6x+2y)/2 = 12/2$, что приводит к уравнению $3x+y=6$. Теперь система имеет вид: $3x+y=1$ и $3x+y=6$. Как и в пункте а), левые части уравнений одинаковы, а правые — нет, что является противоречием.

Выразим $y$ через $x$ для обоих уравнений:
1. $y = -3x + 1$
2. $y = -3x + 6$
Прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k=-3$, но пересекают ось Y в разных точках ($b_1=1$ и $b_2=6$). Следовательно, они параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

д) $ \begin{cases} x-3y=6, \\ 3x-9y=-9; \end{cases} $

Система не имеет решений. Разделим второе уравнение на 3: $(3x-9y)/3 = -9/3$, получим $x-3y=-3$. Сравнивая с первым уравнением $x-3y=6$, видим противоречие: левые части равны, а правые — нет.

Приведем уравнения к виду $y=kx+b$:
1. $3y = x-6 \implies y = \frac{1}{3}x - 2$
2. $9y = 3x+9 \implies y = \frac{1}{3}x + 1$
Угловые коэффициенты прямых совпадают ($k=1/3$), а свободные члены различны ($b_1=-2$ и $b_2=1$). Прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений.

е) $ \begin{cases} 4x+2y=2, \\ x+0.5y=0.5; \end{cases} $

Система имеет бесчисленное множество решений. Умножим второе уравнение на 4: $4(x+0.5y)=4(0.5)$, что дает $4x+2y=2$. Это уравнение идентично первому. Можно также разделить первое уравнение на 2, получив $2x+y=1$, и умножить второе на 2, получив $2x+y=1$. В обоих случаях видно, что уравнения эквивалентны.

Геометрически оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Выразим $y$ из любого уравнения: $2y = 2-4x \implies y = 1-2x$. Все точки этой прямой являются решениями системы.
Примеры решений:

• Если $x=0$, то $y=1-2(0)=1$. Решение: $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y=1-2(1)=-1$. Решение: $(1, -1)$.
• Если $x=0.5$, то $y=1-2(0.5)=0$. Решение: $(0.5, 0)$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений, например, (0, 1), (1, -1).

8.39 Используя графические соображения, установите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение.

1) $\begin{cases} 2x - y = 8, \\ y - 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 2y = 8, \\ y - x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = 8, \\ 2x - y = 8. \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из систем уравнений имеет единственное решение с помощью графических соображений, необходимо проанализировать графики уравнений каждой системы. Каждое уравнение в данных системах является линейным, и его график — прямая линия. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

• Единственное решение существует, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Бесконечно много решений существует, если прямые совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты и свободные члены равны.
• Нет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.

Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.

1) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 2$.

Преобразуем второе уравнение:

$y - 2x = -8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 2$.

Поскольку уравнения приводятся к одному и тому же виду $y = 2x - 8$, их графики — это одна и та же прямая. Это означает, что система имеет бесконечное множество общих точек (решений).

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$2x - 2y = 8$ (разделим обе части на 2)

$x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 1$.

Преобразуем второе уравнение:

$y - x = 8 \implies y = x + 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 1$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 1$), но свободные члены различны ($-4 \neq 8$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

3) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$x - 2y = 8 \implies -2y = -x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x - 4$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = \frac{1}{2}$.

Преобразуем второе уравнение:

$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 2$.

Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются ровно в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет единственное решение.

Таким образом, на основании графических соображений мы установили, что только система уравнений под номером 3 имеет единственное решение.

8.40 Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $y = 0.5x - 3$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих:

$2y - x = 0$, $x + 2y = 0$, $x - 2y = 6$, $4y - 2x = 6$, $4y + 2x = 6$, $2y - x + 6 = 0$.

Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесчисленное множество.

Для определения количества решений системы двух линейных уравнений необходимо сравнить их графические представления, которыми являются прямые. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этих прямых.

• Если прямые пересекаются, система имеет одно решение. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Если прямые параллельны, но не совпадают, система не имеет решений. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью Y — различны.
• Если прямые совпадают, система имеет бесконечное множество решений. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y совпадают.

Первое уравнение системы — $y = 0,5x - 3$. Это уравнение прямой в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k_1 = 0,5$, а смещение по оси Y $b_1 = -3$.

Для каждого из следующих уравнений преобразуем его к виду $y = kx + b$ и сравним его угловой коэффициент $k_2$ и смещение $b_2$ с параметрами первой прямой.

2y – x = 0

Преобразуем данное уравнение к виду с угловым коэффициентом:

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

$y = 0,5x$

Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = 0,5$, а смещение $b_2 = 0$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 \neq b_2$ ($-3 \neq 0$)

Так как угловые коэффициенты равны, а смещения различны, прямые параллельны и не пересекаются. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

x + 2y = 0

Преобразуем уравнение:

$2y = -x$

$y = -\frac{1}{2}x$

$y = -0,5x$

Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, смещение $b_2 = 0$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 \neq k_2$ ($0,5 \neq -0,5$)

Так как угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

x – 2y = 6

Преобразуем уравнение:

$-2y = -x + 6$

$y = \frac{-x+6}{-2}$

$y = 0,5x - 3$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = -3$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 = b_2 = -3$

Так как и угловые коэффициенты, и смещения совпадают, уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесчисленное множество решений.

4y – 2x = 6

Преобразуем уравнение:

$4y = 2x + 6$

$y = \frac{2x+6}{4}$

$y = 0,5x + 1,5$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = 1,5$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 \neq b_2$ ($-3 \neq 1,5$)

Прямые параллельны и не пересекаются. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4y + 2x = 6

Преобразуем уравнение:

$4y = -2x + 6$

$y = \frac{-2x+6}{4}$

$y = -0,5x + 1,5$

Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, смещение $b_2 = 1,5$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 \neq k_2$ ($0,5 \neq -0,5$)

Прямые пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

2y – x + 6 = 0

Преобразуем уравнение:

$2y = x - 6$

$y = \frac{x-6}{2}$

$y = 0,5x - 3$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = -3$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 = b_2 = -3$

Уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесчисленное множество решений.

Решите задачу (8.41–8.43).

8.41 а) В школе искусств для одного класса рисования купили 4 мольберта и 2 стола на сумму 3800 р., а для другого класса рисования купили такие же 2 мольберта и 3 стола на сумму 4100 р. Сколько стоит мольберт и сколько стоит стол?

б) На ярмарке кондитерской продукции один покупатель купил 5 пирожных и 4 пряника, заплатив 1680 р., а другой за такие же 2 пирожных и 2 пряника заплатил 720 р. Сколько стоит одно пирожное и один пряник?

а)

Для решения этой задачи составим систему линейных уравнений. Пусть $м$ – цена одного мольберта в рублях, а $с$ – цена одного стола в рублях.

Исходя из условия задачи, мы имеем два уравнения:

1. За 4 мольберта и 2 стола заплатили 3800 рублей: $4м + 2с = 3800$.

2. За 2 мольберта и 3 стола заплатили 4100 рублей: $2м + 3с = 4100$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 4м + 2с = 3800 \\ 2м + 3с = 4100 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$2м + с = 1900$

Из этого уравнения выразим $с$ через $м$:

$с = 1900 - 2м$

Теперь подставим это выражение для $с$ во второе уравнение системы:

$2м + 3(1900 - 2м) = 4100$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $м$:

$2м + 5700 - 6м = 4100$

$5700 - 4100 = 6м - 2м$

$1600 = 4м$

$м = \frac{1600}{4}$

$м = 400$

Таким образом, цена одного мольберта составляет 400 рублей.

Теперь найдем цену стола, подставив значение $м$ в выражение для $с$:

$с = 1900 - 2(400)$

$с = 1900 - 800$

$с = 1100$

Цена одного стола составляет 1100 рублей.

Проверим найденные значения:

$4 \cdot 400 + 2 \cdot 1100 = 1600 + 2200 = 3800$ (верно)

$2 \cdot 400 + 3 \cdot 1100 = 800 + 3300 = 4100$ (верно)

Ответ: один мольберт стоит 400 рублей, а один стол стоит 1100 рублей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $п$ – цена одного пирожного в рублях, а $р$ – цена одного пряника в рублях.

Из условия задачи получаем два уравнения:

1. За 5 пирожных и 4 пряника заплатили 1680 рублей: $5п + 4р = 1680$.

2. За 2 пирожных и 2 пряника заплатили 720 рублей: $2п + 2р = 720$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 5п + 4р = 1680 \\ 2п + 2р = 720 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$п + р = 360$

Выразим $р$ через $п$:

$р = 360 - п$

Подставим это выражение для $р$ в первое уравнение системы:

$5п + 4(360 - п) = 1680$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $п$:

$5п + 1440 - 4п = 1680$

$п + 1440 = 1680$

$п = 1680 - 1440$

$п = 240$

Цена одного пирожного составляет 240 рублей.

Теперь найдем цену пряника, подставив значение $п$ в выражение для $р$:

$р = 360 - 240$

$р = 120$

Цена одного пряника составляет 120 рублей.

Проверим найденные значения:

$5 \cdot 240 + 4 \cdot 120 = 1200 + 480 = 1680$ (верно)

$2 \cdot 240 + 2 \cdot 120 = 480 + 240 = 720$ (верно)

Ответ: одно пирожное стоит 240 рублей, а один пряник стоит 120 рублей.

8.42 Прогулочный теплоход проходит 130 км за 2 ч по течению реки и 1 ч против её течения. Известно, что этот же теплоход за 2 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 1 ч по течению. Найдите скорость теплохода по течению реки и его скорость против течения реки.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_{по}$ — это искомая скорость теплохода по течению реки (в км/ч), а $v_{пр}$ — его скорость против течения реки (в км/ч).

Из первого условия известно, что прогулочный теплоход проходит 130 км за 2 часа по течению реки и 1 час против её течения. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Таким образом, расстояние, пройденное по течению, составляет $2 \cdot v_{по}$ км, а расстояние, пройденное против течения, — $1 \cdot v_{пр}$ км. Сумма этих расстояний равна 130 км. Составим первое уравнение: $2v_{по} + v_{пр} = 130$

Из второго условия известно, что этот же теплоход за 2 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 1 час по течению. Расстояние, пройденное за 2 часа против течения, равно $2 \cdot v_{пр}$ км. Расстояние, пройденное за 1 час по течению, равно $1 \cdot v_{по}$ км. Разница между этими расстояниями составляет 35 км. Составим второе уравнение: $2v_{пр} - v_{по} = 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 2v_{по} + v_{пр} = 130 \\ 2v_{пр} - v_{по} = 35 \end{cases} $$

Для решения системы выразим $v_{по}$ из второго уравнения: $v_{по} = 2v_{пр} - 35$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $2(2v_{пр} - 35) + v_{пр} = 130$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_{пр}$: $4v_{пр} - 70 + v_{пр} = 130$
$5v_{пр} = 130 + 70$
$5v_{пр} = 200$
$v_{пр} = \frac{200}{5}$
$v_{пр} = 40$

Таким образом, скорость теплохода против течения реки составляет 40 км/ч.

Теперь найдем скорость теплохода по течению, подставив найденное значение $v_{пр}$ в выражение для $v_{по}$: $v_{по} = 2 \cdot 40 - 35$
$v_{по} = 80 - 35$
$v_{по} = 45$

Следовательно, скорость теплохода по течению реки составляет 45 км/ч.

Выполним проверку.
1. Общее расстояние: $2 \text{ ч} \cdot 45 \text{ км/ч} + 1 \text{ ч} \cdot 40 \text{ км/ч} = 90 \text{ км} + 40 \text{ км} = 130$ км. (Верно)
2. Разница в расстояниях: $(2 \text{ ч} \cdot 40 \text{ км/ч}) - (1 \text{ ч} \cdot 45 \text{ км/ч}) = 80 \text{ км} - 45 \text{ км} = 35$ км. (Верно)

Ответ: скорость теплохода по течению реки — 45 км/ч, а его скорость против течения реки — 40 км/ч.