Номер 8.39, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.39 Используя графические соображения, установите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение.

1) $\begin{cases} 2x - y = 8, \\ y - 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 2y = 8, \\ y - x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = 8, \\ 2x - y = 8. \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из систем уравнений имеет единственное решение с помощью графических соображений, необходимо проанализировать графики уравнений каждой системы. Каждое уравнение в данных системах является линейным, и его график — прямая линия. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

• Единственное решение существует, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Бесконечно много решений существует, если прямые совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты и свободные члены равны.
• Нет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.

Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.

1) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 2$.

Преобразуем второе уравнение:

$y - 2x = -8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 2$.

Поскольку уравнения приводятся к одному и тому же виду $y = 2x - 8$, их графики — это одна и та же прямая. Это означает, что система имеет бесконечное множество общих точек (решений).

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$2x - 2y = 8$ (разделим обе части на 2)

$x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 1$.

Преобразуем второе уравнение:

$y - x = 8 \implies y = x + 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 1$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 1$), но свободные члены различны ($-4 \neq 8$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

3) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение:

$x - 2y = 8 \implies -2y = -x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x - 4$.

Угловой коэффициент этого графика $k_1 = \frac{1}{2}$.

Преобразуем второе уравнение:

$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.

Угловой коэффициент этого графика $k_2 = 2$.

Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются ровно в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет единственное решение.

Таким образом, на основании графических соображений мы установили, что только система уравнений под номером 3 имеет единственное решение.