Номер 8.38, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 8. Системы уравнений - номер 8.38, страница 233.

Условие.

8.38 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x + y = 1; \end{cases}$

b) $\begin{cases} y - x = 5, \\ 2y - 2x = 10; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x - 3y = 6, \\ 3x - 9y = -9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + y = 1, \\ 6x + 2y = 12; \end{cases}$

e) $\begin{cases} 4x + 2y = 2, \\ x + 0,5y = 0,5. \end{cases}$

В каждом случае проиллюстрируйте ваш вывод графически.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $ \begin{cases} x+y=3, \\ x+y=1; \end{cases} $

Данная система уравнений не имеет решений. Левые части обоих уравнений идентичны ($x+y$), в то время как правые части различны (3 и 1). Если предположить, что решение существует, то одно и то же выражение $x+y$ должно быть одновременно равно и 3, и 1, что невозможно. Если вычесть второе уравнение из первого, мы получим: $(x+y) - (x+y) = 3 - 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$.

Геометрически каждое линейное уравнение представляет собой прямую на плоскости. Приведем уравнения к виду $y = kx+b$:
1. $y = -x + 3$
2. $y = -x + 1$
Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = -1$, но разные точки пересечения с осью ординат ($b_1=3$ и $b_2=1$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются. Отсутствие точек пересечения и означает отсутствие решений у системы.

Ответ: система не имеет решений.

б) $ \begin{cases} x-2y=4, \\ x-2y=0; \end{cases} $

Эта система, как и предыдущая, не имеет решений. Левые части уравнений ($x-2y$) одинаковы, а правые (4 и 0) — различны. Это противоречие. Вычитание второго уравнения из первого дает $0 = 4$, что является ложным равенством.

Графически это снова две параллельные прямые. Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения:
1. $2y = x - 4 \implies y = 0.5x - 2$
2. $2y = x \implies y = 0.5x$
Угловые коэффициенты равны $k=0.5$, а свободные члены нет ($b_1=-2$ и $b_2=0$). Прямые параллельны, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: система не имеет решений.

в) $ \begin{cases} y-x=5, \\ 2y-2x=10; \end{cases} $

Данная система имеет бесчисленное множество решений. Если мы разделим второе уравнение на 2, то получим: $(2y-2x)/2 = 10/2$, что дает $y-x=5$. Это уравнение в точности совпадает с первым. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же зависимость между $x$ и $y$.

Геометрически оба уравнения представляют одну и ту же прямую $y = x+5$. Поскольку прямые совпадают, любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы.
Примеры решений:

• Если $x=0$, то $y=0+5=5$. Решение: $(0, 5)$.
• Если $x=1$, то $y=1+5=6$. Решение: $(1, 6)$.
• Если $x=-5$, то $y=-5+5=0$. Решение: $(-5, 0)$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений, например, (0, 5), (1, 6).

г) $ \begin{cases} 3x+y=1, \\ 6x+2y=12; \end{cases} $

Система не имеет решений. Разделим второе уравнение на 2: $(6x+2y)/2 = 12/2$, что приводит к уравнению $3x+y=6$. Теперь система имеет вид: $3x+y=1$ и $3x+y=6$. Как и в пункте а), левые части уравнений одинаковы, а правые — нет, что является противоречием.

Выразим $y$ через $x$ для обоих уравнений:
1. $y = -3x + 1$
2. $y = -3x + 6$
Прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k=-3$, но пересекают ось Y в разных точках ($b_1=1$ и $b_2=6$). Следовательно, они параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

д) $ \begin{cases} x-3y=6, \\ 3x-9y=-9; \end{cases} $

Система не имеет решений. Разделим второе уравнение на 3: $(3x-9y)/3 = -9/3$, получим $x-3y=-3$. Сравнивая с первым уравнением $x-3y=6$, видим противоречие: левые части равны, а правые — нет.

Приведем уравнения к виду $y=kx+b$:
1. $3y = x-6 \implies y = \frac{1}{3}x - 2$
2. $9y = 3x+9 \implies y = \frac{1}{3}x + 1$
Угловые коэффициенты прямых совпадают ($k=1/3$), а свободные члены различны ($b_1=-2$ и $b_2=1$). Прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений.

е) $ \begin{cases} 4x+2y=2, \\ x+0.5y=0.5; \end{cases} $

Система имеет бесчисленное множество решений. Умножим второе уравнение на 4: $4(x+0.5y)=4(0.5)$, что дает $4x+2y=2$. Это уравнение идентично первому. Можно также разделить первое уравнение на 2, получив $2x+y=1$, и умножить второе на 2, получив $2x+y=1$. В обоих случаях видно, что уравнения эквивалентны.

Геометрически оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Выразим $y$ из любого уравнения: $2y = 2-4x \implies y = 1-2x$. Все точки этой прямой являются решениями системы.
Примеры решений:

• Если $x=0$, то $y=1-2(0)=1$. Решение: $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y=1-2(1)=-1$. Решение: $(1, -1)$.
• Если $x=0.5$, то $y=1-2(0.5)=0$. Решение: $(0.5, 0)$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений, например, (0, 1), (1, -1).