Номер 8.40, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 8. Системы уравнений - номер 8.40, страница 233.

Условие.

8.40 Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $y = 0.5x - 3$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих:

$2y - x = 0$, $x + 2y = 0$, $x - 2y = 6$, $4y - 2x = 6$, $4y + 2x = 6$, $2y - x + 6 = 0$.

Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесчисленное множество.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для определения количества решений системы двух линейных уравнений необходимо сравнить их графические представления, которыми являются прямые. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этих прямых.

• Если прямые пересекаются, система имеет одно решение. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Если прямые параллельны, но не совпадают, система не имеет решений. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью Y — различны.
• Если прямые совпадают, система имеет бесконечное множество решений. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y совпадают.

Первое уравнение системы — $y = 0,5x - 3$. Это уравнение прямой в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k_1 = 0,5$, а смещение по оси Y $b_1 = -3$.

Для каждого из следующих уравнений преобразуем его к виду $y = kx + b$ и сравним его угловой коэффициент $k_2$ и смещение $b_2$ с параметрами первой прямой.

2y – x = 0

Преобразуем данное уравнение к виду с угловым коэффициентом:

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

$y = 0,5x$

Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = 0,5$, а смещение $b_2 = 0$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 \neq b_2$ ($-3 \neq 0$)

Так как угловые коэффициенты равны, а смещения различны, прямые параллельны и не пересекаются. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

x + 2y = 0

Преобразуем уравнение:

$2y = -x$

$y = -\frac{1}{2}x$

$y = -0,5x$

Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, смещение $b_2 = 0$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 \neq k_2$ ($0,5 \neq -0,5$)

Так как угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

x – 2y = 6

Преобразуем уравнение:

$-2y = -x + 6$

$y = \frac{-x+6}{-2}$

$y = 0,5x - 3$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = -3$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 = b_2 = -3$

Так как и угловые коэффициенты, и смещения совпадают, уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесчисленное множество решений.

4y – 2x = 6

Преобразуем уравнение:

$4y = 2x + 6$

$y = \frac{2x+6}{4}$

$y = 0,5x + 1,5$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = 1,5$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 \neq b_2$ ($-3 \neq 1,5$)

Прямые параллельны и не пересекаются. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4y + 2x = 6

Преобразуем уравнение:

$4y = -2x + 6$

$y = \frac{-2x+6}{4}$

$y = -0,5x + 1,5$

Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, смещение $b_2 = 1,5$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 \neq k_2$ ($0,5 \neq -0,5$)

Прямые пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

2y – x + 6 = 0

Преобразуем уравнение:

$2y = x - 6$

$y = \frac{x-6}{2}$

$y = 0,5x - 3$

Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, смещение $b_2 = -3$.Сравниваем с первой прямой ($k_1 = 0,5$, $b_1 = -3$):

$k_1 = k_2 = 0,5$

$b_1 = b_2 = -3$

Уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесчисленное множество решений.