Номер 1, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 8.4. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 8. Системы уравнений - номер 1, страница 235.

Условие.

Какой цели мы стремимся достичь, применяя способы сложения и подстановки при решении системы уравнений? Решите систему $\begin{cases} x - 2y = -9, \\ 2x + 3y = 10 \end{cases}$ двумя способами.

Решение 1.

Решение 6.

Применяя способы сложения и подстановки при решении системы уравнений, мы стремимся к одной главной цели: преобразовать исходную систему уравнений с несколькими неизвестными в одно уравнение с одной неизвестной. Это позволяет нам последовательно найти значения всех переменных. В методе подстановки мы выражаем одну переменную через другую и подставляем это выражение в другое уравнение, тем самым исключая (элиминируя) одну из переменных. В методе сложения мы выполняем арифметические операции с уравнениями (умножаем на числа и складываем их), чтобы коэффициенты при одной из переменных взаимно уничтожились, что также приводит к уравнению с одной переменной. Таким образом, оба метода являются стратегиями для исключения переменных и упрощения задачи.

Решение системы способом подстановки

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 2y = -9 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 9$.

2. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $2(2y - 9) + 3y = 10$.

3. Решим полученное уравнение относительно $y$:
$4y - 18 + 3y = 10$
$7y = 10 + 18$
$7y = 28$
$y = \frac{28}{7}$
$y = 4$

4. Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y = 4$ в выражение $x = 2y - 9$:
$x = 2(4) - 9$
$x = 8 - 9$
$x = -1$

5. Проверим полученное решение, подставив значения $x=-1$ и $y=4$ в исходные уравнения:
$(-1) - 2(4) = -1 - 8 = -9$ (верно)
$2(-1) + 3(4) = -2 + 12 = 10$ (верно)

Ответ: $(-1, 4)$

Решение системы способом сложения

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 2y = -9 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

1. Умножим первое уравнение системы на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами. Получим эквивалентную систему:$\begin{cases}-2x + 4y = 18 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

2. Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:$(-2x + 4y) + (2x + 3y) = 18 + 10$

3. Упростим и решим полученное уравнение относительно $y$:
$7y = 28$
$y = \frac{28}{7}$
$y = 4$

4. Подставим найденное значение $y = 4$ в первое из исходных уравнений, $x - 2y = -9$:
$x - 2(4) = -9$
$x - 8 = -9$
$x = -9 + 8$
$x = -1$

Решение системы: $x = -1$, $y = 4$.

Ответ: $(-1, 4)$