Номер 8.47, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.47 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Определите координаты точки пересечения данных прямых и укажите, в какой координатной четверти она находится:

а) $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$;

б) $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны, поэтому мы можем приравнять их правые части:

$-8x + 27 = 5x - 25$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$27 + 25 = 5x + 8x$

$52 = 13x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Теперь, зная абсциссу точки пересечения, найдем ее ординату $y$, подставив значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$y = 5(4) - 25$

$y = 20 - 25$

$y = -5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(4; -5)$.

Координатные четверти определяются знаками координат:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Поскольку у нашей точки $x = 4 > 0$ и $y = -5 < 0$, она находится в IV (четвертой) координатной четверти.

Ответ: Координаты точки пересечения $(4; -5)$, точка находится в IV координатной четверти.

б)

Найдем координаты точки пересечения прямых $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$. Приравняем правые части уравнений:

$3x - 19 = x + 2$

Решим это уравнение относительно $x$:

$3x - x = 2 + 19$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2}$

$x = 10.5$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 10.5$ во второе уравнение $y = x + 2$:

$y = 10.5 + 2$

$y = 12.5$

Координаты точки пересечения — $(10.5; 12.5)$.

Поскольку абсцисса $x = 10.5$ положительна и ордината $y = 12.5$ положительна, точка находится в I (первой) координатной четверти.

Ответ: Координаты точки пересечения $(10.5; 12.5)$, точка находится в I координатной четверти.