Номер 8.46, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 8. Системы уравнений. 8.4. Решение систем уравнений способом подстановки. Упражнения - номер 8.46, страница 236.

Условие.

8.46 Решите систему уравнений двумя способами: способом подстановки и способом сложения:

a) $\begin{cases} y + x = 21, \\ y - x = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a - 2b = 3, \\ a - 3b = 20; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$

г) $\begin{cases} m + 3n = 2, \\ 2m + 3n = 7; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ u + 2v = 1; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ 2x - z = 2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} y + x = 21, \\ y - x = 3. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $y$: $y = 21 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $(21 - x) - x = 3$.
Решим полученное уравнение:
$21 - 2x = 3$
$-2x = 3 - 21$
$-2x = -18$
$x = 9$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 21 - x$:
$y = 21 - 9 = 12$.

2. Способ сложения:

Сложим левые и правые части уравнений системы, так как коэффициенты при $x$ противоположны ($1$ и $-1$):
$(y + x) + (y - x) = 21 + 3$
$2y = 24$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $y + x = 21$:
$12 + x = 21$
$x = 21 - 12$
$x = 9$.

Ответ: $(9; 12)$.

б)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} a - 2b = 3, \\ a - 3b = 20. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $a$: $a = 3 + 2b$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $(3 + 2b) - 3b = 20$.
Решим полученное уравнение:
$3 - b = 20$
$-b = 20 - 3$
$-b = 17$
$b = -17$
Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 3 + 2b$:
$a = 3 + 2(-17) = 3 - 34 = -31$.

2. Способ сложения (вычитания):

Вычтем из первого уравнения второе, так как коэффициенты при $a$ одинаковы:
$(a - 2b) - (a - 3b) = 3 - 20$
$a - 2b - a + 3b = -17$
$b = -17$
Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение $a - 2b = 3$:
$a - 2(-17) = 3$
$a + 34 = 3$
$a = 3 - 34 = -31$.

Ответ: $(-31; -17)$.

в)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 10. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = 5 + 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $3(5 + 2y) + 4y = 10$.
Решим полученное уравнение:
$15 + 6y + 4y = 10$
$10y = 10 - 15$
$10y = -5$
$y = -0.5$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 5 + 2y$:
$x = 5 + 2(-0.5) = 5 - 1 = 4$.

2. Способ сложения:

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-4$ и $4$):
$2(x - 2y) = 2 \cdot 5 \Rightarrow 2x - 4y = 10$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 2x - 4y = 10, \\ 3x + 4y = 10. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(2x - 4y) + (3x + 4y) = 10 + 10$
$5x = 20$
$x = 4$
Подставим найденное значение $x$ в исходное первое уравнение $x - 2y = 5$:
$4 - 2y = 5$
$-2y = 5 - 4$
$-2y = 1$
$y = -0.5$.

Ответ: $(4; -0.5)$.

г)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} m + 3n = 2, \\ 2m + 3n = 7. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $m$: $m = 2 - 3n$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $2(2 - 3n) + 3n = 7$.
Решим полученное уравнение:
$4 - 6n + 3n = 7$
$4 - 3n = 7$
$-3n = 7 - 4$
$-3n = 3$
$n = -1$
Теперь найдем $m$, подставив значение $n$ в выражение $m = 2 - 3n$:
$m = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5$.

2. Способ сложения (вычитания):

Вычтем из второго уравнения первое, так как коэффициенты при $n$ одинаковы:
$(2m + 3n) - (m + 3n) = 7 - 2$
$m = 5$
Подставим найденное значение $m$ в первое уравнение $m + 3n = 2$:
$5 + 3n = 2$
$3n = 2 - 5$
$3n = -3$
$n = -1$.

Ответ: $(5; -1)$.

д)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ u + 2v = 1. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $u$: $u = 1 - 2v$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $3(1 - 2v) + 5v = 8$.
Решим полученное уравнение:
$3 - 6v + 5v = 8$
$3 - v = 8$
$-v = 8 - 3$
$-v = 5$
$v = -5$
Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1 - 2v$:
$u = 1 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$.

2. Способ сложения:

Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $u$ стали противоположными ($3$ и $-3$):
$-3(u + 2v) = -3 \cdot 1 \Rightarrow -3u - 6v = -3$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ -3u - 6v = -3. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(3u + 5v) + (-3u - 6v) = 8 + (-3)$
$-v = 5$
$v = -5$
Подставим найденное значение $v$ в исходное второе уравнение $u + 2v = 1$:
$u + 2(-5) = 1$
$u - 10 = 1$
$u = 11$.

Ответ: $(11; -5)$.

е)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ 2x - z = 2. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $z$: $z = 2x - 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $3x - 2(2x - 2) = 3$.
Решим полученное уравнение:
$3x - 4x + 4 = 3$
$-x = 3 - 4$
$-x = -1$
$x = 1$
Теперь найдем $z$, подставив значение $x$ в выражение $z = 2x - 2$:
$z = 2(1) - 2 = 0$.

2. Способ сложения:

Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $z$ стали противоположными ($-2$ и $2$):
$-2(2x - z) = -2 \cdot 2 \Rightarrow -4x + 2z = -4$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ -4x + 2z = -4. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(3x - 2z) + (-4x + 2z) = 3 + (-4)$
$-x = -1$
$x = 1$
Подставим найденное значение $x$ в исходное второе уравнение $2x - z = 2$:
$2(1) - z = 2$
$2 - z = 2$
$-z = 0$
$z = 0$.

Ответ: $(1; 0)$.