Номер 8.51, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.51 Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

a) $ \begin{cases} 3m + 4n = 7, \\ 2m + n = 8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 5x + y = 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 5a + 2b = 15, \\ 8a + 3b = -1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 5p - 4q = 3, \\ 2p - 3q = 11; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 8x - 2y = 14, \\ 9x + 4y = -3; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} 3y - z = 5, \\ 5y + 2z = 12. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8 \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $n$:
$n = 8 - 2m$
Подставим полученное выражение для $n$ в первое уравнение системы:
$3m + 4(8 - 2m) = 7$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m$:
$3m + 32 - 8m = 7$
$-5m = 7 - 32$
$-5m = -25$
$m = \frac{-25}{-5}$
$m = 5$
Теперь найдем значение $n$, подставив найденное значение $m$ в выражение для $n$:
$n = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$
Проверим решение: $3(5) + 4(-2) = 15 - 8 = 7$ (верно). $2(5) + (-2) = 10 - 2 = 8$ (верно).
Ответ: $m=5, n=-2$.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4 \end{cases}$
Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) = 3$
Решим полученное уравнение:
$x - 8 + 10x = 3$
$11x = 3 + 8$
$11x = 11$
$x = 1$
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 4 - 5(1) = 4 - 5 = -1$
Проверим решение: $1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$ (верно). $5(1) + (-1) = 5 - 1 = 4$ (верно).
Ответ: $x=1, y=-1$.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1 \end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами:
$\begin{cases} (5a + 2b) \cdot 3 = 15 \cdot 3 \\ (8a + 3b) \cdot (-2) = -1 \cdot (-2) \end{cases}$
$\begin{cases} 15a + 6b = 45 \\ -16a - 6b = 2 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения почленно:
$(15a + 6b) + (-16a - 6b) = 45 + 2$
$-a = 47$
$a = -47$
Подставим значение $a$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $b$:
$5(-47) + 2b = 15$
$-235 + 2b = 15$
$2b = 15 + 235$
$2b = 250$
$b = 125$
Проверим решение: $5(-47) + 2(125) = -235 + 250 = 15$ (верно). $8(-47) + 3(125) = -376 + 375 = -1$ (верно).
Ответ: $a=-47, b=125$.

г) Дана система уравнений: $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11 \end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -3, а второе на 4:
$\begin{cases} -3(5p - 4q) = -3 \cdot 3 \\ 4(2p - 3q) = 4 \cdot 11 \end{cases}$
$\begin{cases} -15p + 12q = -9 \\ 8p - 12q = 44 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-15p + 12q) + (8p - 12q) = -9 + 44$
$-7p = 35$
$p = -5$
Подставим $p = -5$ в первое исходное уравнение:
$5(-5) - 4q = 3$
$-25 - 4q = 3$
$-4q = 3 + 25$
$-4q = 28$
$q = -7$
Проверим решение: $5(-5) - 4(-7) = -25 + 28 = 3$ (верно). $2(-5) - 3(-7) = -10 + 21 = 11$ (верно).
Ответ: $p=-5, q=-7$.

д) Дана система уравнений: $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 2(8x - 2y) = 2 \cdot 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
$\begin{cases} 16x - 4y = 28 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 4y) + (9x + 4y) = 28 + (-3)$
$25x = 25$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ в первое исходное уравнение:
$8(1) - 2y = 14$
$8 - 2y = 14$
$-2y = 14 - 8$
$-2y = 6$
$y = -3$
Проверим решение: $8(1) - 2(-3) = 8 + 6 = 14$ (верно). $9(1) + 4(-3) = 9 - 12 = -3$ (верно).
Ответ: $x=1, y=-3$.

е) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$\begin{cases} 2(3y - z) = 2 \cdot 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
$\begin{cases} 6y - 2z = 10 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(6y - 2z) + (5y + 2z) = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = 2$
Подставим $y = 2$ в первое исходное уравнение:
$3(2) - z = 5$
$6 - z = 5$
$-z = 5 - 6$
$-z = -1$
$z = 1$
Проверим решение: $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$ (верно). $5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12$ (верно).
Ответ: $y=2, z=1$.