Номер 8.58, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.58 Запишите уравнение прямой и постройте эту прямую, если известно, что:

a) прямая проходит через начало координат и через точку с координатами $(90; 60)$;

б) прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$ и проходит через точку $(15; 57)$.

а)

Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Поскольку прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$, мы можем подставить эти координаты в общее уравнение прямой:
$0 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение нашей прямой имеет вид $y = kx$.

Также известно, что прямая проходит через точку с координатами $(90; 60)$. Подставим эти значения в уравнение $y = kx$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$60 = k \cdot 90$
$k = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$

Итак, искомое уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно двух точек. У нас есть точка $(0; 0)$ и точка $(90; 60)$. Для удобства построения можно найти еще одну точку, выбрав простое значение $x$. Например, при $x = 3$:
$y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.
Получаем точку $(3; 2)$. Отметив на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(3; 2)$ и проведя через них прямую, мы построим график.

Ответ: Уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x$. Построение выполняется по двум точкам, например, $(0; 0)$ и $(3; 2)$.

б)

Используем общий вид уравнения прямой $y = kx + b$.

Из условия известно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$. Это означает, что y-перехват (коэффициент $b$) равен $-3$.
Таким образом, уравнение принимает вид $y = kx - 3$.

Прямая также проходит через точку $(15; 57)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$57 = k \cdot 15 - 3$
$57 + 3 = 15k$
$60 = 15k$
$k = \frac{60}{15} = 4$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = 4x - 3$.

Для построения прямой используем две точки. Одна точка нам дана — это точка пересечения с осью $y$: $(0; -3)$. Найдем вторую, подставив в уравнение удобное значение $x$, например, $x = 1$:
$y = 4 \cdot 1 - 3 = 1$.
Таким образом, вторая точка — $(1; 1)$. Отметив на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(1; 1)$ и проведя через них прямую, мы построим график.

Ответ: Уравнение прямой $y = 4x - 3$. Построение выполняется по двум точкам, например, $(0; -3)$ и $(1; 1)$.