Номер 8.55, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.55 5% первой суммы рублей и 7% второй вместе составляют 5000 р. А 7% первой суммы рублей и 5% второй вместе составляют 4600 р. Найдите эти суммы рублей в отдельности.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первая сумма в рублях, а $y$ — вторая сумма в рублях.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух линейных уравнений. Первое условие: 5% первой суммы и 7% второй вместе составляют 5000 р. В виде уравнения это выглядит так:
$0.05x + 0.07y = 5000$

Второе условие: 7% первой суммы и 5% второй вместе составляют 4600 р. В виде уравнения это выглядит так:
$0.07x + 0.05y = 4600$

Таким образом, мы получили систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.05x + 0.07y = 5000 \\ 0.07x + 0.05y = 4600 \end{cases} $$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$ \begin{cases} 5x + 7y = 500000 \\ 7x + 5y = 460000 \end{cases} $$

Решим эту систему. Можно заметить, что коэффициенты при $x$ и $y$ симметричны. Это позволяет использовать метод сложения и вычитания уравнений для упрощения системы.

Сначала сложим два уравнения системы:
$(5x + 7y) + (7x + 5y) = 500000 + 460000$
$12x + 12y = 960000$
Разделим обе части уравнения на 12:
$x + y = 80000$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(5x + 7y) - (7x + 5y) = 500000 - 460000$
$-2x + 2y = 40000$
Разделим обе части уравнения на 2:
$-x + y = 20000$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 80000 \\ -x + y = 20000 \end{cases} $$

Сложим уравнения этой новой системы, чтобы найти $y$:
$(x + y) + (-x + y) = 80000 + 20000$
$2y = 100000$
$y = \frac{100000}{2}$
$y = 50000$

Мы нашли вторую сумму. Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение новой системы ($x + y = 80000$), чтобы найти $x$:
$x + 50000 = 80000$
$x = 80000 - 50000$
$x = 30000$

Таким образом, первая сумма равна 30 000 рублей, а вторая сумма — 50 000 рублей. Проведем проверку.
1) 5% от 30000 р. и 7% от 50000 р.:
$0.05 \times 30000 + 0.07 \times 50000 = 1500 + 3500 = 5000$ р. (Верно).
2) 7% от 30000 р. и 5% от 50000 р.:
$0.07 \times 30000 + 0.05 \times 50000 = 2100 + 2500 = 4600$ р. (Верно).

Ответ: первая сумма составляет 30 000 рублей, вторая сумма составляет 50 000 рублей.