Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.52 Решите систему способом подстановки:

а) $\begin{cases}x = 30z, \\y = 40z, \\x + y = 210;\end{cases}$

б) $\begin{cases}m = 4p, \\n = -5p, \\m + 4n = 40;\end{cases}$

в) $\begin{cases}a = c + 1, \\b = 2c - 1, \\a - b = 3;\end{cases}$

г) $\begin{cases}s = 2v - 3, \\u = v - 5, \\2s - 3u = 10.\end{cases}$

а) В системе уравнений $ \begin{cases} x = 30z, \\ y = 40z, \\ x + y = 210 \end{cases} $ переменные $x$ и $y$ уже выражены через $z$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$30z + 40z = 210$

Решим полученное уравнение:

$70z = 210$

$z = \frac{210}{70}$

$z = 3$

Теперь найдем значения $x$ и $y$, подставив $z=3$ в первые два уравнения:

$x = 30 \cdot 3 = 90$

$y = 40 \cdot 3 = 120$

Ответ: $x=90, y=120, z=3$.

б) В системе уравнений $ \begin{cases} m = 4p, \\ n = -5p, \\ m + 4n = 40 \end{cases} $ подставим выражения для $m$ и $n$ из первых двух уравнений в третье:

$(4p) + 4(-5p) = 40$

Решим полученное уравнение:

$4p - 20p = 40$

$-16p = 40$

$p = \frac{40}{-16} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь найдем значения $m$ и $n$, подставив $p=-2.5$ в первые два уравнения:

$m = 4 \cdot (-2.5) = -10$

$n = -5 \cdot (-2.5) = 12.5$

Ответ: $m=-10, n=12.5, p=-2.5$.

в) В системе уравнений $ \begin{cases} a = c + 1, \\ b = 2c - 1, \\ a - b = 3 \end{cases} $ подставим выражения для $a$ и $b$ из первых двух уравнений в третье:

$(c + 1) - (2c - 1) = 3$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$c + 1 - 2c + 1 = 3$

$-c + 2 = 3$

$-c = 1$

$c = -1$

Теперь найдем значения $a$ и $b$, подставив $c=-1$ в первые два уравнения:

$a = (-1) + 1 = 0$

$b = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$

Ответ: $a=0, b=-3, c=-1$.

г) В системе уравнений $ \begin{cases} s = 2v - 3, \\ u = v - 5, \\ 2s - 3u = 10 \end{cases} $ подставим выражения для $s$ и $u$ из первых двух уравнений в третье:

$2(2v - 3) - 3(v - 5) = 10$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$4v - 6 - 3v + 15 = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$v + 9 = 10$

$v = 1$

Теперь найдем значения $s$ и $u$, подставив $v=1$ в первые два уравнения:

$s = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$

$u = 1 - 5 = -4$

Ответ: $s=-1, u=-4, v=1$.

Решите задачу (8.53–8.55).

8.53 а) Сейчас отец в 7 раз старше сына, а через 3 года им вместе будет 38 лет. Сколько лет отцу и сколько лет сыну сейчас?

б) В январе собака старше щенка в 5 раз. Через 2 месяца им вместе будет 1 год и 10 месяцев. Найдите возраст собаки и возраст щенка в марте.

а)

Пусть возраст сына сейчас составляет $x$ лет. По условию, отец сейчас в 7 раз старше, следовательно, возраст отца — $7x$ лет.

Через 3 года сыну будет $(x + 3)$ лет, а отцу — $(7x + 3)$ лет. Их общий возраст составит 38 лет. Можем составить уравнение:

$(x + 3) + (7x + 3) = 38$

Теперь решим это уравнение:

$x + 7x + 3 + 3 = 38$

$8x + 6 = 38$

$8x = 38 - 6$

$8x = 32$

$x = \frac{32}{8}$

$x = 4$

Мы нашли возраст сына сейчас — ему 4 года.

Теперь найдем возраст отца: $7x = 7 \cdot 4 = 28$ лет.

Ответ: сейчас отцу 28 лет, а сыну 4 года.

б)

Для решения задачи переведем возраст в месяцы, так как в условии есть месяцы.

1 год и 10 месяцев — это $1 \cdot 12 + 10 = 22$ месяца.

Пусть в январе возраст щенка составлял $y$ месяцев. По условию, собака была в 5 раз старше, значит, ее возраст в январе был $5y$ месяцев.

Действие происходит через 2 месяца после января, то есть в марте. В марте возраст щенка будет $(y + 2)$ месяцев, а возраст собаки — $(5y + 2)$ месяцев. Их суммарный возраст в марте составит 22 месяца. Составим уравнение:

$(y + 2) + (5y + 2) = 22$

Решим полученное уравнение:

$y + 5y + 2 + 2 = 22$

$6y + 4 = 22$

$6y = 22 - 4$

$6y = 18$

$y = \frac{18}{6}$

$y = 3$

Значит, в январе щенку было 3 месяца.

Нас просят найти возраст собаки и щенка в марте.

Возраст щенка в марте: $y + 2 = 3 + 2 = 5$ месяцев.

Возраст собаки в марте: $5y + 2 = 5 \cdot 3 + 2 = 15 + 2 = 17$ месяцев.

Ответ: в марте возраст собаки 17 месяцев (или 1 год и 5 месяцев), а возраст щенка 5 месяцев.

8.54 В выборах школьного совета участвовало 900 учащихся. За кандидатуру А проголосовало $15\%$ девочек и $20\%$ мальчиков, всего 159 учащихся. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в выборах совета?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $g$ — количество девочек, участвовавших в выборах, а $b$ — количество мальчиков.

1. Составление уравнений

Всего в выборах участвовало 900 учащихся. Это дает нам первое уравнение:

$g + b = 900$

За кандидатуру А проголосовало 15% девочек и 20% мальчиков. В абсолютных числах это $0.15g$ девочек и $0.20b$ мальчиков. Общее число проголосовавших за кандидата А — 159 человек. Это дает нам второе уравнение:

$0.15g + 0.20b = 159$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} g + b = 900 \\ 0.15g + 0.20b = 159 \end{cases} $

2. Решение системы уравнений

Выразим $g$ из первого уравнения:

$g = 900 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти количество мальчиков $b$:

$0.15(900 - b) + 0.20b = 159$

Раскроем скобки:

$135 - 0.15b + 0.20b = 159$

Приведем подобные слагаемые:

$0.05b = 159 - 135$

$0.05b = 24$

Найдем $b$:

$b = \frac{24}{0.05} = \frac{2400}{5} = 480$

Итак, в выборах участвовало 480 мальчиков.

Теперь найдем количество девочек $g$, подставив значение $b$ в первое уравнение:

$g = 900 - 480$

$g = 420$

Таким образом, в выборах участвовало 420 девочек.

3. Проверка

Проверим, правильно ли мы нашли количество проголосовавших за кандидата А:

• Голоса девочек: $15\%$ от $420 = 0.15 \times 420 = 63$
• Голоса мальчиков: $20\%$ от $480 = 0.20 \times 480 = 96$

Общее число голосов за кандидата А: $63 + 96 = 159$.

Это значение совпадает с данными в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: в выборах участвовало 420 девочек и 480 мальчиков.

8.55 5% первой суммы рублей и 7% второй вместе составляют 5000 р. А 7% первой суммы рублей и 5% второй вместе составляют 4600 р. Найдите эти суммы рублей в отдельности.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первая сумма в рублях, а $y$ — вторая сумма в рублях.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух линейных уравнений. Первое условие: 5% первой суммы и 7% второй вместе составляют 5000 р. В виде уравнения это выглядит так:
$0.05x + 0.07y = 5000$

Второе условие: 7% первой суммы и 5% второй вместе составляют 4600 р. В виде уравнения это выглядит так:
$0.07x + 0.05y = 4600$

Таким образом, мы получили систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.05x + 0.07y = 5000 \\ 0.07x + 0.05y = 4600 \end{cases} $$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$ \begin{cases} 5x + 7y = 500000 \\ 7x + 5y = 460000 \end{cases} $$

Решим эту систему. Можно заметить, что коэффициенты при $x$ и $y$ симметричны. Это позволяет использовать метод сложения и вычитания уравнений для упрощения системы.

Сначала сложим два уравнения системы:
$(5x + 7y) + (7x + 5y) = 500000 + 460000$
$12x + 12y = 960000$
Разделим обе части уравнения на 12:
$x + y = 80000$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(5x + 7y) - (7x + 5y) = 500000 - 460000$
$-2x + 2y = 40000$
Разделим обе части уравнения на 2:
$-x + y = 20000$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 80000 \\ -x + y = 20000 \end{cases} $$

Сложим уравнения этой новой системы, чтобы найти $y$:
$(x + y) + (-x + y) = 80000 + 20000$
$2y = 100000$
$y = \frac{100000}{2}$
$y = 50000$

Мы нашли вторую сумму. Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение новой системы ($x + y = 80000$), чтобы найти $x$:
$x + 50000 = 80000$
$x = 80000 - 50000$
$x = 30000$

Таким образом, первая сумма равна 30 000 рублей, а вторая сумма — 50 000 рублей. Проведем проверку.
1) 5% от 30000 р. и 7% от 50000 р.:
$0.05 \times 30000 + 0.07 \times 50000 = 1500 + 3500 = 5000$ р. (Верно).
2) 7% от 30000 р. и 5% от 50000 р.:
$0.07 \times 30000 + 0.05 \times 50000 = 2100 + 2500 = 4600$ р. (Верно).

Ответ: первая сумма составляет 30 000 рублей, вторая сумма составляет 50 000 рублей.